Съдържание

ВсОШ 2008, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 3 (11 кл.). 11 класс — Заряженный мыльный пузырь

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2008

XLII Всероссийская олимпиада школьников по физике — Заключительный этап. Теоретический тур · 10 т.

Издание и авторы

Методическая комиссия по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников.

XLII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Методическое пособие. Новосибирск, 2008 г.

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников. Телефоны: (495) 408-80-77, 408-86-95. E-mail: physolymp@gmail.com.

Авторы задач:

Класс	Задача 1	Задача 2	Задача 3	Задача 4	Задача 5
9	Козел С.	Слободянин В.	Слободянин В.	Козел С.	—
10	Слободянин В.	Козел С.	Козел С.	Соболев М.	Кармазин С.
11	Гуденко А.	Осин М.	Ольховец А.	Фольклор	Тарнопольский Г.

Общая редакция — Козел С. Оформление и вёрстка — Воробель О., Гущин И., Ерофеев И.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε. © Авторский коллектив. Подписано в печать 31 января 2013 г. в 16:22.

141700, Московская область, г. Долгопрудный. Московский физико-технический институт.

Условие

Через короткую трубку выдувают мыльный пузырь с массой $m=0{,}01\ \text{г}$ и коэффициентом поверхностного натяжения $\sigma=0{,}01\ \text{Н/м}$ (рис. 12). Пузырь заряжают зарядом $Q=5{,}4\cdot10^{-8}\ \text{Кл}$ . Трубка остаётся открытой.

Электрическая постоянная $\varepsilon_0=8{,}85\cdot10^{-12}\ \text{Кл}^2/(\text{Дж}\cdot\text{м})$ .

1 Определите равновесный радиус пузыря $R_0$ .

2 Определите период малых колебаний пузыря, если при колебаниях он сохраняет сферическую форму.

3 Оцените, с какой скоростью разлетятся брызги, если пузырь внезапно зарядить зарядом $Q_1=10Q$ ?

Решение

Найдём давление на пузырь, обусловленное электростатическими силами. Рассмотрим малый элемент $\Delta S$ поверхности. Напряжённость электрического поля $E_0$ , действующего на него, по модулю равна напряжённости поля $E_1$ , создаваемого им самим вблизи его поверхности (это следует, например, из того, что напряжённость поля внутри пузыря должна быть равна нулю). Тогда на него действует сила

F_\text{э}=E_0\cdot\frac{Q\Delta S}{4\pi R^2},\quad\text{где}\quad E_0=E_1=\frac1{2\varepsilon_0}\cdot\frac Q{4\pi R^2}.

Таким образом давление на пузырь, обусловленное электростатическими силами:

p_\text{э}=\frac{F_\text{э}}{\Delta S}=\frac{Q^2}{32\pi^2\varepsilon_0R^4}.

Давление сил поверхностного натяжения равно $p_\sigma=-4\sigma/R$ . Суммарное давление равно $p=p_\text{э}+p_\sigma$ . В равновесном состоянии $p=0$ :

\frac{Q^2}{32\pi^2\varepsilon_0R_0^4}-\frac{4\sigma}{R_0}=0.

Следовательно, равновесный радиус

R_0=\sqrt[3]{\frac{Q^2}{128\pi^2\varepsilon_0\sigma}}\approx3{,}0\ \text{см}.

Если радиус пузыря отклонился от равновесного значения $R_0$ , то сила, которая действует на малый элемент $\Delta S$ поверхности, может быть записана в виде:

F=p\Delta S=4\sigma\left(\frac{R_0^3}{R^4}-\frac1R\right)\Delta S.

При малых изменениях радиуса ( $\Delta R\ll R_0$ ) выражение для силы имеет вид:

F=\left.\frac{dp}{dR}\right|_{R=R_0}\cdot\Delta R\cdot\Delta S=4\sigma\Delta R\Delta S\left.\left(-\frac{4R_0^3}{R^5}+\frac1{R^2}\right)\right|_{R=R_0}=-\frac{12\sigma}{R_0^2}\Delta R\Delta S.

Знак «−» означает, что равновесное состояние пузыря устойчиво. Применим второй закон Ньютона к элементу поверхности $\Delta S$ массы $\Delta m$ :

\Delta m\Delta\ddot R=-\frac{12\sigma}{R_0^2}\Delta R\Delta S,\qquad\Delta m=\frac{m\Delta S}{4\pi R_0^2},\quad\text{откуда}\quad\Delta\ddot R+48\frac{\pi\sigma}m\Delta R=0.

Это уравнение свободных колебаний с круговой частотой $\omega=\sqrt{48\pi\sigma/m}$ . Таким образом,

T=\frac{2\pi}\omega=\sqrt{\frac{\pi m}{12\sigma}}\approx16\ \text{мс}.

Скорость разлёта брызг можно оценить из закона сохранения энергии. Пренебрегая поверхностной энергией, получим:

\frac12\frac{Q_1^2}{4\pi\varepsilon_0R_0}=\frac{mv^2}2,\quad\text{откуда}\quad v=\sqrt{\frac{100Q^2}{4\pi\varepsilon_0R_0m}}\approx94\ \text{м/с}.

Критерии оценивания

Критерий	Баллы
Формула давления внутри пузыря из-за сил поверхностного натяжения	1
Давление, обусловленное электростатическими силами	2
Условие равновесия пузыря	1
Определение равновесного радиуса (формула и численное значение)	1
Вычисление силы, действующей на элемент плёнки при нарушении равновесия	2
Уравнение колебаний пузыря	1
Определение периода колебаний (формула и численное значение)	1
Оценка скорости разлёта брызг	1

Оригинал в Архива: final08T.pdf