Съдържание

ВсОШ 2008, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 4 (10 кл.). 10 класс — Минимальная скорость протона

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2008

XLII Всероссийская олимпиада школьников по физике — Заключительный этап. Теоретический тур · 10 т.

Издание и авторы

Методическая комиссия по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников.

XLII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Методическое пособие. Новосибирск, 2008 г.

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников. Телефоны: (495) 408-80-77, 408-86-95. E-mail: physolymp@gmail.com.

Авторы задач:

Класс	Задача 1	Задача 2	Задача 3	Задача 4	Задача 5
9	Козел С.	Слободянин В.	Слободянин В.	Козел С.	—
10	Слободянин В.	Козел С.	Козел С.	Соболев М.	Кармазин С.
11	Гуденко А.	Осин М.	Ольховец А.	Фольклор	Тарнопольский Г.

Общая редакция — Козел С. Оформление и вёрстка — Воробель О., Гущин И., Ерофеев И.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε. © Авторский коллектив. Подписано в печать 31 января 2013 г. в 16:22.

141700, Московская область, г. Долгопрудный. Московский физико-технический институт.

Условие

Элементарный заряд $e=1{,}602\cdot10^{-19}\ \text{Кл}$ , масса протона $m_p=1{,}672\cdot10^{-27}\ \text{кг}$ , электрическая постоянная $\varepsilon_0=8{,}85\cdot10^{-12}\ \text{Ф/м}$ .

1 Тонкое кольцо радиусом $R=5\ \text{см}$ однородно заряжено зарядом $Q=+10^{-8}\ \text{Кл}$ (рис. 8 а). Какую минимальную скорость $v_{\min}$ нужно сообщить протону, находящемуся вдали от кольца, чтобы он пролетел по оси кольца через его центр?

2 Пусть теперь заряд $Q=+10^{-8}\ \text{Кл}$ равномерно распределён по поверхности тонкого диска радиуса $R=5\ \text{см}$ (рис. 8 б). В центре диска имеется небольшое отверстие. Какую минимальную скорость нужно сообщить протону в этом случае, чтобы он пролетел через отверстие в диске?

Решение

По принципу суперпозиции потенциал $\varphi_\text{а}$ в центре кольца равен

\varphi_\text{а}=\frac Q{4\pi\varepsilon_0R}.

Потенциальная энергия $W_\text{а}$ протона в центре кольца:

W_\text{а}=\frac{Qe}{4\pi\varepsilon_0R}.

По закону сохранения энергии $W_\text{а}=m_pv^2/2$ . Тогда

v_{\text{а min}}=\sqrt{\frac{2W_\text{а}}{m_p}}=\sqrt{\frac{Qe}{2\pi\varepsilon_0Rm_p}}=5{,}9\cdot10^5\ \text{м/с}.

Найдём потенциал $\varphi_\text{б}$ в центре равномерно заряженного диска. Поверхностная плотность заряда на диске $\sigma=Q/S=Q/(\pi R^2)$ . Рассмотрим элементарное кольцо радиусом $r$ и толщиной $dr$ . Заряд этого кольца равен

dq=\sigma\cdot2\pi r\cdot dr=\frac{2Qr\,dr}{R^2}.

Потенциал, создаваемый элементарным кольцом в его центре, равен

d\varphi_\text{б}=\frac{dq}{4\pi\varepsilon_0r}=\frac{Q\,dr}{2\pi\varepsilon_0R^2}.

Отсюда потенциал в центре диска:

\varphi_\text{б}=\int_0^R\frac Q{2\pi\varepsilon_0R^2}\,dr=\frac Q{2\pi\varepsilon_0R}.

Как видно, $\varphi_\text{б}=2\varphi_\text{а}$ . Следовательно, $W_\text{б}=2W_\text{а}$ , и тогда

v_{\text{б min}}=\sqrt2v_{\text{а min}}=8{,}3\cdot10^5\ \text{м/с}.

Критерии оценивания

Критерий	Баллы
Потенциал в центре кольца	2
Формула для $v_{\min}$ в случае кольца	1
Численное значение	1
Расчёт потенциала в центре равномерно заряженного диска	4
Формула для $v_{\min}$ в случае равномерно заряженного диска	1
Численное значение	1

Оригинал в Архива: final08T.pdf