Съдържание

ВсОШ 2008, Зонален етап, 9–11 клас — Задача 1. Шаровой сегмент

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2008

XLII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Окружной этап. Экспериментальный тур

Условие

9 класс

Шаровым сегментом называется тело, ограниченное сферической поверхностью и плоскостью (рис. 1). При помощи данного оборудования постройте график зависимости объёма $v$ шарового сегмента единичного радиуса $r = 1$ от его высоты $h$ .

Слева — шар, очерченный штриховой окружностью, от которого плоскостью отсечён нижний сегмент (показан сплошной линией с эллипсом основания). Справа — сечение сегмента: радиус $r$ проведён стрелкой к краю сегмента, высота сегмента обозначена $h$. — Рис. 1

Примечание. Формула объёма шарового сегмента не предполагается известной. Плотность воды принять равной $\rho = 1{,}0$ г/см $^3$

Оборудование. Стакан с водой, теннисный шарик известной массы $m$ , шприц с иглой, лист миллиметровой бумаги, скотч, ножницы.

Рекомендации для организаторов. Стакан желательно взять цилиндрический с прозрачными стенками без рифлёных поверхностей. Шарики от настольного тенниса стоит проколоть иглой от шприца (не насквозь). Объём шприца 5 мл. Сообщить каждому участнику массу его шарика с точностью до десятой доли грамма.

Отговори

Решение

Для начала измерим радиус шарика, отрезав тонкую полоску миллиметровой бумаги и обмотав ей шарик $n$ раз. Радиус шарика $R = l/(2\pi n)$ , где $l$ — длина миллиметровой бумаги.

Нальём воды в стакан. Для уменьшения ошибки последующих измерений глубин погружения шарика, вызванной параллаксом можно приклеить скотчем полоски миллиметровой бумаги к стакану с двух сторон (можно воспользоваться уже имеющейся длинной полоской, разрезав её пополам). Выровняв по уровню воды начала отсчета обеих полосок, мы получаем довольно точный измерительный аппарат. Совмещая соответствующие деления обеих полосок с нижним краем шарика, мы можем находить глубину его погружения $H$ .

Рассмотрим плавающий шарик с некоторой массой $M$ воды внутри (рис. 5). Сила тяжести, действующая на шарик, уравновешивается силой архимеда вытесненной воды $(M+m)g = \rho g V$ , где $V$ как раз и есть объём шарового сегмента высоты $H$ . Получаем, что $V = (M + m)/\rho$ .

Стакан с водой, в которой плавает шарик; уровень воды показан штриховой линией, под ней волнистая штриховка воды. Слева стрелками отмечена глубина погружения шарика $H$ между уровнем воды и нижним краем шарика. — Рис. 5

Теперь мы можем снять зависимость объёма шарового сегмента шарика от его высоты, доливая при помощи шприца по 0,1 г воды. Но это не совсем то, что спрашивается в задаче. Мы должны отнормировать $H$ и $V$ . Понятно, что для получения нужных величин следует уменьшить все линейные размеры в $R$ раз. То есть $h = H/R$ . Тогда объём $v = V/R^3$ .

В результате получим необходимый график.

Примечание. Экспериментально полученный график не совпадает с теоретическим, описываемым формулой $v = \pi h^2(1 - h/3)$ , из-за поверхностного натяжения.

Оригинал в Архива: ok08E.pdf