Съдържание

ВсОШ 2008, Зонален етап, 9–11 клас — Задача 3. Устойчивая пробирка

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2008

XLII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Окружной этап. Экспериментальный тур

Условие

10 класс

1. Найдите массу выданной вам пробирки и её внешний и внутренний диаметры.

2. Вычислите теоретически, при какой наименьшей высоте $h_{\min}$ и наибольшей высоте $h_{\max}$ налитой в пробирку воды она будет устойчиво плавать в вертикальном положении, и найдите численные значения, используя результаты первого пункта.

3. Определите $h_{\min}$ и $h_{\max}$ экспериментально и сравните с результатами пункта 2.

Оборудование. Пробирка неизвестной массы с наклеенной шкалой, сосуд с водой, стаканчик, лист миллиметровой бумаги, нитка.

Примечание. Отклеивать шкалу от пробирки запрещается!

Рекомендации для организаторов. Диаметр пробирки 1–2 см. Длина — около 20 см. Заранее на пробирку скотчем должна быть надёжно приклеена полоска миллиметровой бумаги с отмеченными и подписанными делениями через каждый сантиметр. Ширина полоски около 5 мм. Длина — на 1 см короче длины пробирки. На пробирках с закруглённым дном удобнее всего совместить начало отсчёта длины с верхним концом пробирки. В качестве сосуда удобно использовать прозрачную двухлитровую пластиковую бутылку с обрезанным верхом. Воды необходимо налить столько, сколько достаточно, чтобы пробирка при полном погружении не касалась дна.

Отговори

Решение

Обернём несколько раз пробирку ниткой. Приложим нитку к шкале и вычислим по формуле $D_0 = l/(n\pi)$ внешний диаметр пробирки, где $l$ — длина намотанной нитки, $n$ — количество оборотов.

Пусть пробирка плавает вертикально (рис. 7). Запишем равенство нулю суммы всех сих, действующих на пробирку:

Mg + \rho g h S_1 = \rho g H S_0, \qquad (1)

Пробирка, плавающая вертикально в воде (волнистая штриховка). Ось $x$ направлена вверх от нуля у дна пробирки; обозначены внутренний диаметр $D_1$ сверху и внешний $D_0$ снизу, длина пробирки $L$, глубина погружения $H$, высота налитой воды $h$, координаты $x_a$ и $x_c$ точек приложения сил $F_a$ и $F_c$. — Рис. 7

где $S_0$ и $S_1$ — площади внешнего и внутреннего сечения пробирки, $M$ — масса пробирки. Поделив обе части на $\rho g S_0$ , увидим, что между глубиной погружения пробирки и высотой налитой в неё воды есть зависимость:

H = h\frac{S_1}{S_0} + \frac{M}{\rho S_0}.

Снимем зависимость $H(h)$ и изобразим её на графике. Масса пробирки $M = \rho\pi D_0^2 y_0$ , где $y_0$ — координата точки пересечения графика с осью ординат. Внутренний диаметр равен $D_1 = \sqrt{\alpha}D_0$ , где $\alpha$ — угловой коэффициент наклона графика. Заметим, что начиная с некоторого момента при заметном подъёме уровня воды в пробирке уровень её погружения почти не изменяется. При проведении прямой эти данные нужно отбросить.

Для устойчивого плавания пробирки необходимо, чтобы центр тяжести системы «пробирка + налитая вода» был ниже точки приложения силы Архимеда; в критическом положении они совпадают, то есть $x_c = x_{\text{арх}}$ . Введём безразмерные коэффициенты: $\beta = S_1/S_0$ — отношение площади внутреннего сечения к внешнему, и $\gamma = M/(\rho S_0 L)$ — отношение массы пробирки к массе воды, вытесняемой пробиркой при полном погружении. Тогда

x_c = \frac{1}{2}\frac{\beta h^2/L + \gamma L}{\gamma + \beta h/L}, \qquad x_{\text{арх}} = \frac{1}{2}(\gamma L + \beta h),

а после преобразований и нахождения корней квадратного уравнения:

h_{\text{крит}\ 1,2} = \frac{\gamma\beta \pm \sqrt{\gamma^2\beta + \gamma\beta^2 - \gamma\beta}}{\beta(1-\beta)}L. \qquad (2)

Знак « $-$ » соответствует наименьшей высоте столба $h_{\min}$ .

Максимальная же высота $h_{\max}$ обусловлена тем, что пробирка начинает тонуть (в (1) $H = L$ ). Откуда

h_{\max} = \frac{L}{\beta}(1-\gamma), \quad h_{\min} = \frac{\gamma\beta - \sqrt{\gamma^2\beta + \gamma\beta^2 - \gamma\beta}}{\beta(1-\beta)}L.

Для экспериментального нахождения наибольшей и наименьшей высоты воды в пробирке, при которой она устойчиво плавает в вертикальном положении, проведём серию из нескольких измерений, постепенно доливая в пробирку воды. Значение $h_{\max}$ оказывается больше теоретического по причине значительного поверхностного натяжения

Оригинал в Архива: ok08E.pdf