ВсОШ 2008, Зонален етап, 9–11 клас — Задача 1. Шарик на стержне

• 1. $a_1 = \frac{2g\sin\alpha}{1+\sin^2\alpha},\quad a_2 = \frac{2g\sin^2\alpha}{1+\sin^2\alpha}$
• 2. $a_1 = 2g\sin\alpha,\quad a_2 = 0$

Нарисуем все силы, действующие на шарики (рис. 15). Запишем второй закон Ньютона для верхнего шарика в проекции на стержень:

где $a_1$ — ускорение верхнего шарика, $T$ — сила натяжения нити, $N$ — сила реакции стержня.

Для нижнего шарика запишем второй закон Ньютона в проекции на нить:

1. Пользуясь кинематической связью (проекции ускорений шариков на нить связаны соотношением $a_2 = a_1\sin\alpha$), выразим из вышеприведённых уравнений ускорения шариков. Получим:

2. Поскольку сразу после пережигания нити относительное расположение шариков не успело поменяться, то растяжение пружины будет таким же, что и до отрыва нити. Таким образом, $T = mg$. В результате получим: