Съдържание

ВсОШ 2008, Зонален етап, 9–11 клас — Задача 10. Муравей-спортсмен

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2008

XLII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Окружной этап. Теоретический тур

Условие

Муравей из точки $A$ без начальной скорости скользит по гладкой соломинке, у которой наклонный прямолинейный участок $AB$ в точке $B$ плавно переходит в дугу $BC$ с радиусом кривизны $R$ , а эта дуга в точке $C$ также плавно переходит в горизонтальный прямолинейный участок $CD$ (рис. 11).

Соломинка: наклонный отрезок AB, дуга BC и горизонтальный отрезок CD (точки D, C, B, A слева направо); стрелка g вниз. — Рис. 11

Известно, что $AB : BC : CD = 1 : 2 : 3$ , и суммарная длина пути много меньше $R$ .

Вычислите время скольжения муравья по соломинке от точки $A$ до точки $D$ .

Отговори

Решение

Полное время движения муравья складывается из времени движения $t_1$ по участку $AB$ , времени $t_2$ на участке $BC$ и времени $t_3$ на участке $CD$ . Пусть $AB = l$ .

Восстановим из точек $B$ и $C$ перпендикуляры к траектории движения муравья, они являются радиусами дуги $BC$ (рис. 24). Пусть $\angle BOC = \alpha = 2l/R$ . Поскольку $l \ll R$ , то $\sin\alpha \approx \alpha = 2l/R$ . Ускорение на прямолинейном участке $AB$ равно $a_1 = g\sin\alpha = 2gl/R$ .

Траектория D–C–B–A с центром дуги O; радиусы OC и OB образуют угол α; наклон AB под углом α; высоты h1 и h2; стрелка g вниз. — Рис. 24

\text{Поскольку}\quad l = \frac{a_1t_1^2}{2},\quad \text{то}\quad t_1 = \sqrt{\frac{2l}{a_1}} = \sqrt{\frac{R}{g}}.

Скорость в конце этого участка $v_B = \sqrt{2gh_1} = \sqrt{2gl\sin\alpha} = 2l\sqrt{g/R}$ .

Вычислим $t_2$ . Из закона сохранения энергии найдём скорость $v_C$ муравья в точке $C$ . Это будет его наибольшая скорость.

mg(h_1 + h_2) = \frac{mv_C^2}{2},\quad \text{следовательно,}\quad v_C = \sqrt{2g(h_1 + h_2)}.

Найдём $h_1 + h_2$ .

h_1 = l\sin\alpha = 2\frac{l^2}{R},\quad h_2 = R(1 - \cos\alpha) = 2R\sin^2(\alpha/2) = 2R(\alpha/2)^2 = 2\frac{l^2}{R},

h_1 + h_2 = 4\frac{l^2}{R},\quad \text{таким образом,}\quad v_C = 2l\sqrt{\frac{2g}{R}}.

На участке $BC$ движение муравья аналогично колебательному движению математического маятника с длиной подвеса $R$ . Его циклическая частота $\omega = \sqrt{g/R}$ . Время $t_2$ движения муравья из точки $B$ в точку $C$ равно времени его обратного движения из точки $C$ в точку $B$ , которое можно найти из уравнения гармонических колебаний:

v_B = v_C\cos\left(\sqrt{\frac{g}{R}}t_2\right),\quad \text{откуда}\quad t_2 = \sqrt{\frac{R}{g}}\arccos\frac{v_B}{v_C} = \frac{\pi}{4}\sqrt{\frac{R}{g}}.

На отрезке $CD$ муравей движется равномерно со скоростью $v_C$ , следовательно, $t_3 = \dfrac{3l}{v_C} = \dfrac{3}{2}\sqrt{\dfrac{R}{2g}}$ .

Полное время движения муравья

t = t_1 + t_2 + t_3 = \sqrt{\frac{R}{g}}\left(1 + \frac{\pi}{4} + \frac{3}{2\sqrt{2}}\right) \approx 2{,}85\sqrt{\frac{R}{g}}.

Оригинал в Архива: ok08T.pdf