Съдържание

ВсОШ 2008, Зонален етап, 9–11 клас — Задача 9. Горячий коктейль

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2008

XLII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Окружной этап. Теоретический тур

Условие

В открытом сосуде находятся две несмешиваемые жидкости равных масс при температуре окружающей среды. В момент времени $\tau_1$ смесь начинают нагревать, подводя постоянную мощность. В момент времени $\tau_5$ сосуд оказывается пустым. В результате, получена зависимость температуры содержимого сосуда от времени (рис. 10). Найдите отношение удельных теплот парообразования и удельных теплоёмкостей жидкостей.

График температуры t от времени τ на мелкой сетке: возрастающая кривая от точки 1 до точки 2, горизонтальный участок 2–3, снова возрастающая кривая до точки 4 и горизонтальный участок 4–5. — Рис. 10

Считайте, что коэффициент пропорциональности $\alpha$ между разностью температур и потоком теплоты от сосуда в окружающую среду постоянен.

Отговори

Решение

Из графика понятно, что сначала обе жидкости нагревались, затем на участке 2–3 первая жидкость выкипала. Далее нагревалась только вторая жидкость, и на участке 4–5 выкипела и она. Измерим угловые коэффициенты касательных к криволинейным участкам графика в точках 1, 2, 3 и 4: $k_i = \Delta t(\tau_i)/\Delta\tau$ . Температура окружающей среды $t = t_1$ . Пусть исходная масса каждой из жидкостей равна $m$ , мощность нагревателя $P$ , а мощность тепловых потерь $N = \alpha(t - t_1)$ .

Рассмотрим процесс нагревания жидкости, например, вблизи точки 3. За малое время $\Delta\tau$ нагреватель отдаёт количество теплоты $\Delta Q_+ = P\Delta\tau$ , а величина тепловых потерь составит $\Delta Q_- = \alpha(t_2 - t_1)\Delta\tau$ . Тогда температура второй жидкости поднимется на:

\Delta t = \frac{Q_+ - Q_-}{c_2m},\quad \text{откуда}\quad k_3 = \frac{\Delta t}{\Delta\tau} = \frac{P - \alpha(t_2 - t_1)}{c_2m}.

Таким образом, для точки 3 имеем:

P = k_3c_2m + \alpha(t_2 - t_1).\qquad (1)

Аналогично для точки 2 запишем:

P = k_2(c_1m + c_2m) + \alpha(t_2 - t_1).\qquad (2)

Вычтя уравнение (2) из (1), получим:

k_3c_2m = k_2(c_1m + c_2m),\qquad \text{откуда}\qquad \frac{c_1}{c_2} = \frac{k_3}{k_2} - 1 \approx 1{,}8.

Для точки 4 можем записать аналогичное уравнение:

P = k_4c_2m + \alpha(t_4 - t_1).\qquad (3)

На участках 2–3 и 4–5 температура была постоянной. Запишем уравнение теплового баланса:

P\tau_{32} = L_1m + \alpha(t_2 - t_1)\tau_{32},\qquad (4)

P\tau_{54} = L_2m + \alpha(t_4 - t_1)\tau_{54}.\qquad (5)

Подставив в уравнение (4) значение для мощности из (1) и аналогично подставив из (3) в (5), найдём:

L_1m = k_3c_2m\tau_{32},\quad L_2m = k_4c_2m\tau_{54},\quad \text{откуда}\quad \frac{L_1}{L_2} = \frac{k_3\tau_{32}}{k_4\tau_{54}} \approx 4{,}4.

Оригинал в Архива: ok08T.pdf