ВсОШ 2008, Зонален етап, 9–11 клас — Задача 8. Атом в однородном поле

• $R = \sqrt[3]{\frac{kq^2}{\omega^2}\frac{M+m}{Mm}},\quad H = \frac{qE}{\omega^2}\frac{M+m}{Mm}$

Направим ось $Oy$ вдоль вектора напряжённости поля $\vec{E}$, а ось $Ox$ перпендикулярно ей (рис. 23). Пусть отрезок, соединяющий частицы, составляет с осью $Oy$ угол $\alpha$. Запишем второй закон Ньютона для частиц в проекции на введённые оси в момент времени, когда ускорения частиц направлены вдоль оси $Ox$:

где $r_1$ и $r_2$ — орбиты окружностей, по которым движутся частицы $M$ и $m$ соответственно.

Заметим также, что

Таким образом, из (1), (2) и (4) находим:

Наконец, используя (3), получим: