Съдържание

ВсОШ 2008, Зонален етап, 9–11 клас — Задача 7. Труба Ньютона

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2008

XLII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Окружной этап. Теоретический тур

Условие

Говорят, первые эксперименты по оптике Ньютон проводил с металлической зеркально полированной цилиндрической трубой длиной $l = 8$ см и диаметром $d = 1$ см (рис. 8). В центре её нижнего основания он устанавливал точечный источник света $O$ , а верхнее основание закрывал чёрной шторкой $A$ с маленьким отверстием $S$ посередине. В его экспериментах на высоте $h = 5$ см над шторкой располагался горизонтальный квадратный экран $B$ со стороной $a = 3$ см, причём его центр находился точно на оси трубы.

Вертикальная цилиндрическая труба длиной l и диаметром d с источником O в центре нижнего основания; сверху шторка A с отверстием S, выше на высоте h квадратный экран B со стороной a. — Рис. 8

1. Изобразите в масштабе 1:1 на листе бумаги в клетку, считая размер клетки равным 5 мм, картину, которую Ньютон видел на экране.

2. Что увидел бы Ньютон, если бы поднял шторку на высоту $\Delta l = 2$ см над верхним торцом трубы (не меняя положения остальных предметов)?

Отговори

Решение

Рассмотрим некоторое сечение трубы плоскостью, содержащей прямую $OS$ (рис. 20). В силу осевой симметрии задачи любой луч, испущенный источником в этой плоскости, в ней и останется после любого количества отражений. Поэтому для решения задачи достаточно ограничиться одним сечением. Во всех остальных картина будет такой же.

Сечение трубы: источник O внизу, его изображения O1, O2, O3, O4 на расстояниях d; лучи через отверстие S попадают на экран на высоте h в точки O′, O′1, O′2, O′3, O′4; длина трубы l. — Рис. 20

В рассматриваемом сечении у источника $O$ есть два отражения $O_1$ и $O_2$ , причём $OO_1 = OO_2 = d$ . Их изображениями, в свою очередь, являются точки $O_3$ и $O_4$ такие, что $OO_3 = OO_4 = 2d$ , изображениями которых являются $O_5$ и $O_6$ , и так далее. Объединяя изображения в разных сечениях, мы получим множество концентрических окружностей с радиусами $r_n = d, 2d, 3d, \ldots$ Проходя через отверстие, лучи на экране будут образовывать концентрические кольца, радиусы $r_n'$ которых определяются из подобия соответствующих треугольников: $\triangle SOO_k \sim \triangle SO'O_k'$ , то есть $r_n' = O'O_n' = ndh/l$ .

На экране полностью уместятся кольца с радиусами $r_1' = 6{,}25$ мм и $r_2' = 12{,}5$ мм. Кроме них на экране будут видны точка в центре (образованная лучами, не претерпевшими отражений) и четыре дуги окружности радиусом $r_3' = 18{,}75$ мм (рис. 21).

Квадратный экран в клетку с точкой в центре, двумя полными концентрическими окружностями и четырьмя дугами большей окружности в углах. — Рис. 21

Квадратный экран в клетку с точкой в центре и двумя маленькими концентрическими окружностями. — Рис. 22

Если шторку поднять на высоту $\Delta l$ над верхним торцом трубы, то расстояние от отверстия $S$ до источника будет $L = l + \Delta l$ , а расстояние до экрана $H = h - \Delta l$ . Радиус колец на экране в этом случае будет определяться выражением $R_n' = ndH/L$ , а их количество будет ограничено условием $R_n'/H < d/(2\Delta l)$ . Следовательно на экране будут видны только центральная точка и кольца с радиусами $R_1' = 0{,}3$ см и $R_2' = 0{,}6$ см (рис. 22).

Оригинал в Архива: ok08T.pdf