Съдържание

ВсОШ 2008, Зонален етап, 9–11 клас — Задача 11. Какой КПД больше?

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2008

XLII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Окружной этап. Теоретический тур

Условие

Идеальный одноатомный газ совершает циклический процесс $C$ , состоящий из двух изохор и двух изобар. Затем тот же газ совершает аналогичный процесс $D$ (рис. 12). КПД какого процесса больше? Полагая КПД процесса $C$ заданным и равным $\eta_C$ , вычислите $\eta_D$ . В обоих процессах $\Delta p_{21} = \Delta p_{32} = \Delta p$ и $\Delta V_{21} = \Delta V_{32} = \Delta V$ , но их числовые значения неизвестны.

Диаграмма p–V с точками 1–8 и двумя прямоугольными циклами: C (через точки 1, 7, 2, 4) и D (через точки 2, 8, 3, 5). — Рис. 12

Отговори

Решение

Пусть за цикл газ совершает работу $A_0 = \Delta p\Delta V$ . Тогда $\eta_C = A_0/Q_{172}$ , где подведённое к газу количество теплоты $Q_{172} = U_{12} + A_{72}$ . Аналогично $\eta_D = A_0/Q_{283}$ , где $Q_{283} = U_{23} + A_{83}$ . Заметим, что $A_{83} = A_{72} + A_0$ . Сравним изменения внутренних энергий $U_{12}$ и $U_{23}$ . Выражение для $U_{12}$ :

\begin{aligned} U_{12} = \frac{C_V}{R}(T_2 - T_1) &= \frac{C_V}{R}(p_2V_2 - p_1V_1) = \\ &= \frac{C_V}{R}(p_1\Delta V + V_1\Delta p + \Delta p\Delta V) = \frac{C_V}{R}(p_1\Delta V + V_1\Delta p + A_0). \end{aligned}

Аналогичным образом получим, что

\begin{aligned} U_{23} = \frac{C_V}{R}(p_3V_3 - p_2V_2) &= \frac{C_V}{R}(p_2\Delta V + V_2\Delta p + A_0) = \\ &= \frac{C_V}{R}(p_1\Delta V + V_1\Delta p + 3A_0) = U_{12} + 2\frac{C_V}{R}A_0. \end{aligned}

Отсюда

\eta_C = \frac{A_0}{Q_{172}} = \frac{A_0}{U_{12} + A_{72}},

\begin{aligned} \eta_D = \frac{A_0}{Q_{283}} = \frac{A_0}{U_{23} + A_{83}} &= \frac{A_0}{U_{12} + A_{72} + \dfrac{2C_V + R}{R}A_0} = \\ &= \frac{\eta_C}{1 + \dfrac{C_V + C_p}{R}\eta_C} = \frac{\eta_C}{1 + 4\eta_C}. \end{aligned}

Откуда $\eta_D < \eta_C$ .

Оригинал в Архива: ok08T.pdf