Съдържание

ВсОШ 2008, Зонален етап, 9–11 клас — Задача 12. Изолированная система

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2008

XLII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Окружной этап. Теоретический тур

Условие

Цилиндрический сосуд с металлическим дном и не проводящими электрический ток стенками закрыт тонким массивным металлическим поршнем, который располагается на высоте $h$ , много меньшей диаметра сосуда. Внутри сосуда находится включённый в электрическую схему резистор, размеры которого много меньше размеров сосуда (рис. 13). Схема соединена лёгкими гибкими проводами с поршнем и дном сосуда. Изначально сосуд был заполнен гелием при давлении $p \gg \varepsilon_0\mathscr{E}^2/h^2$ . Система теплоизолирована, помещена в вакуум и находится в равновесии.

Сосуд с поршнем на высоте h, внутри газ под давлением p и резистор r; поршень и дно соединены через ключ K с источником ЭДС ℰ; стрелка g вниз. — Рис. 13

Ключ $K$ замыкают. Найдите максимальную высоту $H$ , на которой может оказаться поршень после установления в системе равновесного состояния.

Теплоёмкостями сосуда и поршня пренебречь. Считать сопротивление $r$ постоянным. Трение между поршнем и сосудом достаточно мало. Гелий считать идеальным газом. Электрическую проницаемость гелия принять равной $\varepsilon_{\mathrm{He}} = 1$ .

Отговори

Решение

Поскольку система теплоизолированная, то можно воспользоваться законом сохранения энергии:

E_1 + A = E_2,

где $E_1$ и $E_2$ — энергии системы соответственно до и после замыкания ключа, а $A$ — работа внешних сил. В нашем случае это работа электродвижущих сил. Поскольку система вначале находилась в равновесии, то масса поршня $m = pS/g$ .

Пусть через источник ЭДС протёк заряд $q$ . Тогда дно сосуда и поршень окажутся заряженными, образуя пластины конденсатора. Ёмкость этого конденсатора в конечном состоянии будет $C = \varepsilon_0S/H$ , где $S$ — площадь дна сосуда. Поскольку напряжение на конденсаторе равно $\mathscr{E}$ , то протёкший через источник ЭДС заряд:

q = C\mathscr{E} = \frac{\varepsilon_0S\mathscr{E}}{H}.

Поскольку на пластинах находятся разноимённые заряды, то они притягиваются с силой

F = \frac{q^2/S}{2\varepsilon_0} = \frac{\varepsilon_0S\mathscr{E}^2}{2H^2}.

В конечном состоянии давление газа будет $p + F/S$ .

Таким образом,

\frac{C_V}{R}p_1V_1 + mgh + \mathscr{E}q = \frac{C_V}{R}p_2V_2 + mgH + \frac{q^2}{2C};

\frac{3}{2}pSh + pSh + \frac{\varepsilon_0S\mathscr{E}^2}{H} = \frac{3}{2}\left(p + \frac{\varepsilon_0\mathscr{E}^2}{2H^2}\right)SH + pSH + \frac{\varepsilon_0S\mathscr{E}^2}{2H};

\frac{5}{2}pS(H - h) = -\frac{1}{4}\frac{\varepsilon_0S\mathscr{E}^2}{H},

\left(\frac{H}{h}\right)^2 - \left(\frac{H}{h}\right) = -\frac{\varepsilon_0\mathscr{E}^2}{10h^2p}.

Решая квадратное уравнение, найдём

H = h\left(\frac{1}{2} + \sqrt{\frac{1}{4} - \frac{\varepsilon_0\mathscr{E}^2}{10h^2p}}\right),

так как нас интересует больший корень. С учётом того, что

\frac{\varepsilon_0\mathscr{E}^2}{h^2p} \ll 1,

получим

H \approx h\left(1 - \frac{\varepsilon_0\mathscr{E}^2}{10h^2p}\right).

Оригинал в Архива: ok08T.pdf