ВсОШ 2009, Регионален етап · западен вариант, 7–11 клас — Задача 1 (10 кл.). 10 класс — Два против одного

Обозначим скорость Васи через $v_{\text{В}}$, а скорость Пети — через $v_{\text{П}}$. Разложим движение узла по двум направлениям: вдоль резинок и поперёк них, то есть спроецируем скорость узла на оси $Ox$ (направлена на восток) и $Oy$ (направлена на север).

Рассмотрим малый промежуток времени $\Delta t$. За это время Вася пробежит вдоль оси $Oy$ расстояние $\Delta y_1=v_{\text{В}}\Delta t$. Так как смещение Пети мало по сравнению с расстоянием $AB$, то им можно пренебречь. По условию $BB'=B'A$. Тогда из подобия треугольников $ABC$ и $AB'C'$ (рис. 16) видно, что за то же самое время $\Delta t$ узел сместится вдоль оси $Oy$ на расстояние $\Delta y_2=v_{\text{В}}\Delta t/2$. То есть проекция скорости узла на вертикальную ось равна $v_y=v_{\text{В}}/2=4\ \text{м/с}$.

Вася держит в руке две резинки, которые можно считать одной с жёсткостью в два раза большей. Узел практически невесом, поэтому силы, с которыми на него действуют резинки, должны быть равны:

где $k$ — жёсткость одной резинки, $\Delta x_{\text{В}}$ и $\Delta x_{\text{П}}$ — удлинения резинок со стороны Васи и Пети соответственно. Сумма этих смещений за время $\Delta t$ равна расстоянию, пробегаемому Петей, то есть $\Delta x_0=v_{\text{П}}\Delta t=\Delta x_{\text{В}}+\Delta x_{\text{П}}$. Из уравнения (1) получим, что $v_{\text{П}}\Delta t=3\Delta x_{\text{В}}=3v_x\Delta t$, так как скорость узла вдоль оси $Ox$ равна $v_x=\Delta x_{\text{В}}/\Delta t$. Отсюда получаем, что $v_x=(1/3)v_{\text{П}}=3\ \text{м/с}$. Значит, полная скорость узла по теореме Пифагора: