Съдържание

ВсОШ 2009, Регионален етап · западен вариант, 7–11 клас — Задача 3 (11 кл.). 11 класс — Колебания системы

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2009

XLIII Всероссийская олимпиада школьников по физике — Региональный этап. Теоретический тур. Западный вариант · 10 т.

Издание и авторы

Методическая комиссия по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников.

XLIII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Теоретический тур. Западный вариант. Методическое пособие. МФТИ, 2008/2009 уч.г.

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников. Телефоны: (495) 408-80-77, 408-86-95. E-mail: physolymp@gmail.com.

Авторы задач:

Класс	Задача 1	Задача 2	Задача 3	Задача 4	Задача 5
7	Замятнин М.	Бушмин И.	Фольклор	Ерофеев И.	—
8	Слободянин В.	Сеитов А.	Осин М., Ерофеев И.	Замятнин М.	—
9	Ерофеев И.	Замятнин М.	Фольклор	Замятнин М.	—
10	Варламов С.	Алескеров И.	Замятнин М.	Фольклор	Слободянин В.
11	Ерофеев И., Тарнопольский Г.	Калда Я.	Фольклор	Шеронов А.	Слободянин В.

Общая редакция — Слободянин В. Оформление и вёрстка — Гущин И., Ерофеев И., Сметнёв Д.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε. © Авторский коллектив. Подписано в печать 23 ноября 2008 г. в 00:12.

141700, Московская область, г. Долгопрудный. Московский физико-технический институт.

Условие

Период малых колебаний системы (рис. 11) около положения равновесия равен $T=2\pi\sqrt{m/k}$ , где $m$ — масса каждого из шариков, а $k$ — жёсткость пружины. Соединение лёгких стержней шарнирное и закреплено в точке $O$ . Найдите длину $L$ пружины в нерастянутом состоянии.

Решение

Пусть в равновесии стержни составляют угол $2\gamma$ (рис. 19). Тогда при малом смещении шариков на $x$ из положения равновесия, пружина сожмётся на $2y=2x\cos\gamma$ .

Кинетическая энергия системы:

K=\frac{\alpha\dot x^2}2=\frac{2m\dot x^2}2,

где $\dot x$ — скорость шариков.

Потенциальная энергия:

\Pi=\frac{\beta x^2}2=\frac{4kx^2\cos^2\gamma}2.

Следовательно, период колебаний:

T=2\pi\sqrt{\frac\alpha\beta}=2\pi\sqrt{\frac{2m}{4k\cos^2\gamma}}=2\pi\sqrt{\frac mk}.

Откуда найдём $\cos\gamma=1/\sqrt2$ и угол $\gamma=\pi/4$ . Таким образом, искомая длина пружины $L=2l\sin\gamma=l\sqrt2$ .

Критерии оценивания

Критерий	Баллы
Выражение сжатия пружины через смещения шариков	1
Кинетическая энергия системы	3
Потенциальная энергия системы	3
Определение угла между стержнями	2
Ответ для $L$	1

Оригинал в Архива: region09T.pdf