Съдържание

ВсОШ 2009, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 1 (9 кл.). 9 класс — Бревно на привязи

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2009

XLIII Всероссийская олимпиада школьников по физике — Заключительный этап. Теоретический тур · 10 т.

Издание и авторы

Методическая комиссия по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников.

XLIII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Методическое пособие. Жуковский, 2009 г.

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников. Телефоны: (495) 408-80-77, 408-86-95. E-mail: physolymp@gmail.com.

Авторы задач:

Класс	Задача 1	Задача 2	Задача 3	Задача 4	Задача 5
9	Чивилёв В.	Слободянин В.	Проскурин М.	Воронов А.	—
10	Подлесный Д.	Слободянин В.	Воробьёв И.	Козел С., Слободянин В.	Шеронов А.
11	Захарченко К.	Шеронов А.	Козел С.	Тарнопольский Г.	Козел С.

Общая редакция — Козел С., Слободянин В. Оформление и вёрстка — Воробель О., Гущин И., Ерофеев И., Сметнёв Д.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε. © Авторский коллектив. Подписано в печать 6 мая 2009 г. в 19:43.

141700, Московская область, г. Долгопрудный. Московский физико-технический институт.

Условие

Подъёмный кран медленно поднимает с помощью троса плавающее в воде бревно (рис. 1). Трос прикреплён к одному концу бревна, которое можно считать тонким цилиндром с постоянной плотностью. Масса бревна — $m$ , длина — $L$ . Отношение плотностей воды и древесины $\gamma=4/3$ . Ускорение свободного падения $g$ .

1 Какую минимальную работу $A$ нужно совершить крану, чтобы полностью вытащить бревно из воды?

2 Постройте график зависимости силы натяжения $T$ троса от высоты над водой $h$ приподнимаемого конца бревна. Укажите характерные точки графика.

3 Какую работу $A_h$ совершит кран при переводе бревна из одного наклонного положения в другое наклонное положение, в котором верхний конец бревна поднялся на высоту $\Delta h=L/5$ ?

Решение

Минимальная работа крана равна изменению потенциальной энергии бревна: $A=mgL/2$ .
Бревно в процессе подъёма будет образовывать некий угол $\alpha$ с поверхностью воды, пока не примет вертикальное положение, оставаясь частично погруженным в воду. Оно находится в равновесии, если выполняются два условия (рис. 13):

а) Сумма всех действующих на него сил равна нулю:

T_0+F_A-mg=0,

где $F_A=mg\gamma x_0/L$ — Архимедова сила, $x_0$ — длина части бревна, погружённой в воду.

б) Согласно правилу моментов, сумма моментов сил относительно произвольного полюса равна нулю. В качестве полюса выберем верхний конец бревна, точку $O$ . Тогда правило моментов запишется так:

mg\frac L2\cos\alpha-\left(mg\gamma\frac{x_0}L\right)\left(L-\frac{x_0}2\right)\cos\alpha=0.

Откуда следует, что сила $T_0$ натяжения троса не зависит от угла наклона бревна относительно горизонта. Решая последнее уравнение, получим, что в воде будет находиться часть бревна длиной

x_0=L\left(1-\sqrt{1-\frac1\gamma}\right)=\frac L2.

Пока бревно будет оставаться в наклонном положении, сила натяжения троса останется постоянной и равной $T_0=mg/3$ .

После того, как бревно примет вертикальное положение, сила натяжения троса станет возрастать линейно от $T_0$ до $mg$ :

T=mg-F_A=mg\left(1-\frac{\gamma x}L\right).

График зависимости силы натяжения троса $T$ от высоты $h$ приведён на рисунке 14.

Подъём верхнего конца бревна на высоту $h$ происходит при постоянной силе натяжения $T=T_0=mg/3$ . Искомая работа:

A_h=T\Delta h=\frac{mg}3\cdot\frac L5=\frac{mgL}{15}.

Критерии оценивания

Критерий	Баллы
Найдена работа $A$	2
Доказано, что при наклонном положении бревна сила $T$ постоянна	3
Определена сила $T$ при вертикальном положении бревна	2
Построен график зависимости $T$ от $h$	2
Определена работа $A_h$	1

Оригинал в Архива: finalT09.pdf