Съдържание

ВсОШ 2009, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 1 (11 кл.). 11 класс — Головокружительный аттракцион

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2009

XLIII Всероссийская олимпиада школьников по физике — Заключительный этап. Теоретический тур · 10 т.

Издание и авторы

Методическая комиссия по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников.

XLIII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Методическое пособие. Жуковский, 2009 г.

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников. Телефоны: (495) 408-80-77, 408-86-95. E-mail: physolymp@gmail.com.

Авторы задач:

Класс	Задача 1	Задача 2	Задача 3	Задача 4	Задача 5
9	Чивилёв В.	Слободянин В.	Проскурин М.	Воронов А.	—
10	Подлесный Д.	Слободянин В.	Воробьёв И.	Козел С., Слободянин В.	Шеронов А.
11	Захарченко К.	Шеронов А.	Козел С.	Тарнопольский Г.	Козел С.

Общая редакция — Козел С., Слободянин В. Оформление и вёрстка — Воробель О., Гущин И., Ерофеев И., Сметнёв Д.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε. © Авторский коллектив. Подписано в печать 6 мая 2009 г. в 19:43.

141700, Московская область, г. Долгопрудный. Московский физико-технический институт.

Условие

В головокружительном аттракционе человек массы $m=70\ \text{кг}$ прыгает с платформы вниз в озеро†. К ногам человека привязан конец резинового жгута некоторой длины $L$ и жёсткости $k$ . Другой конец жгута прикреплён к платформе. У поверхности воды, пролетев расстояние $h=90\ \text{м}$ , человек должен иметь нулевую скорость и ускорение $a_0=2g$ . Считайте, что $g=10\ \text{м/с}^2$ , а жгут подчиняется закону Гука. Размерами человека, сопротивлением воздуха и другими потерями можно пренебречь. Определите:

Внимание! От точности ваших расчётов, возможно, будет зависеть жизнь человека!

† www.youtube.com/watch?v=uIB7u-Cbq2Q

1 длину $L$ нерастянутого жгута и его жёсткость $k$ ;

2 удлинение жгута в положении равновесия (после затухания колебаний);

3 максимальную скорость $v_{\max}$ падения человека;

4 амплитуду $A$ и частоту $\omega$ гармонических колебаний человека на жгуте;

5 время $\tau$ падения человека до поверхности воды.

Решение

Из закона сохранения энергии и условия нулевой скорости человека у поверхности воды:

mgh=\frac{k(h-L)^2}2.

По закону Гука $F_{\text{упр}}=k(h-L)$ . Запишем второй закон Ньютона для человека в нижней точке:

ma_0=F_{\text{упр}}-mg=2mg.

Тогда $F_{\text{упр}}=3mg=k(h-L)=\dfrac{2mgh}{h-L}$ , откуда следует, что

L=h/3=30\ \text{м},\quad k=\frac{2mgh}{(h-L)^2}=\frac92\frac{mg}h=35\ \text{Н/м}.

После затухания колебаний (в положении равновесия) длина жгута увеличится на $x_0=mg/k=2h/9=20\ \text{м}$ .
Максимальная скорость падения достигается в точке $D$ при пролёте через положение равновесия (рис. 24). Запишем закон сохранения энергии:

\frac{mv_{\max}^2}2=mg(L+x_0)-\frac{kx_0^2}2,

откуда найдём $v_{\max}=\dfrac23\sqrt{2gh}=28{,}3\ \text{м/с}$ . Обратите внимание на то, что $\sqrt{2gh}$ — это скорость свободного падения тела с высоты $h$ .

В отсутствие затухания человек совершает периодические колебания около положения равновесия в точке $D$ . При этом движение на отрезке $BC$ происходит только под действием силы тяжести (свободное падение с ускорением $g$ ), а на отрезках $CD$ и $DE$ — по гармоническому закону. Амплитуда гармонических колебаний $A=h-L-x_0=4h/9=40\ \text{м}$ , а круговая частота $\omega=\sqrt{k/m}=\sqrt{9g/(2h)}=0{,}71\ \text{с}^{-1}$ .
Для подсчёта времени падения человека до поверхности воды направим координатную ось $x$ с началом координат в точке $D$ вниз. Примем, что в момент времени $t=0$ человек пролетает мимо точки $D$ ( $x=0$ ). Тогда его дальнейшее движение до точки $E$ и обратно до точки $C$ можно описать формулой $x=A\sin\omega t$ . Определим время движения человека на трёх участках пути: $BC$ , $CD$ и $DE$ .

а) На отрезке $BC$ происходит свободное падение. Соответствующее время $\tau_{BC}=\sqrt{2L/g}=\sqrt{2h/(3g)}=\tau_0/\sqrt3$ , где $\tau_0=\sqrt{2h/g}$ — время свободного падения с высоты $h$ .

б) После пролёта человека мимо точки $C$ жгут начал натягиваться и дальнейшее движение происходило по гармоническому закону. Время движения до точки $D$ найдём из соотношения:

-x_0=A\sin(-\tau_{CD}\omega),\quad\text{или}\quad x_0=A\sin\omega\tau_{CD}.

Поскольку $x_0=A/2$ , то $\omega\tau_{CD}=\pi/6$ , и время $\tau_{CD}=\dfrac\pi{6\omega}=\dfrac\pi{18}\sqrt{\dfrac{2h}g}=\dfrac\pi{18}\tau_0$ .

в) Время движения на отрезке $DE$ равно четверти периода $T$ колебательного процесса:

\tau_{DE}=\frac T4=\frac14\frac{2\pi}\omega=\frac\pi6\sqrt{\frac{2h}g}=\frac\pi6\tau_0.

Таким образом, полное время $\tau$ падения человека до воды будет равно

\tau=\tau_{BC}+\tau_{CD}+\tau_{DE}=\left(\frac1{\sqrt3}+\frac{2\pi}9\right)\tau_0=5{,}41\ \text{с}.

Критерии оценивания

Критерий	Баллы
Определены $L$ , $k$ и $x_0$	3
Определена скорость $v_{\max}$	1
Определены амплитуда $A$ и частота $\omega$	2
Найдено время $\tau_{BC}$	1
Найдено время $\tau_{CD}$	2
Найдено время $\tau_{DE}$	1

Оригинал в Архива: finalT09.pdf