Съдържание

ВсОШ 2009, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 2 (11 кл.). 11 класс — Электрическая схема с индуктивностью

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2009

XLIII Всероссийская олимпиада школьников по физике — Заключительный этап. Теоретический тур · 10 т.

Издание и авторы

Методическая комиссия по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников.

XLIII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Методическое пособие. Жуковский, 2009 г.

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников. Телефоны: (495) 408-80-77, 408-86-95. E-mail: physolymp@gmail.com.

Авторы задач:

Класс	Задача 1	Задача 2	Задача 3	Задача 4	Задача 5
9	Чивилёв В.	Слободянин В.	Проскурин М.	Воронов А.	—
10	Подлесный Д.	Слободянин В.	Воробьёв И.	Козел С., Слободянин В.	Шеронов А.
11	Захарченко К.	Шеронов А.	Козел С.	Тарнопольский Г.	Козел С.

Общая редакция — Козел С., Слободянин В. Оформление и вёрстка — Воробель О., Гущин И., Ерофеев И., Сметнёв Д.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε. © Авторский коллектив. Подписано в печать 6 мая 2009 г. в 19:43.

141700, Московская область, г. Долгопрудный. Московский физико-технический институт.

Условие

В схеме на рисунке 9 параметры всех элементов заданы. В начальном состоянии, когда ключ был разомкнут, ток в цепи, содержащей индуктивность $L$ , отсутствовал. Ключ замыкают на некоторое время, а затем снова размыкают. Известно, что за время, пока ключ был замкнут, через индуктивность протёк заряд $q_0$ . За всё время после размыкания ключа в схеме выделилось количество теплоты $Q_0$ .

Предполагая идеальными все элементы цепи, определите:

Указание. Найдите связь между зарядом, протёкшим через резистор $R$ , и изменением потока через катушку.

1 силу тока $I_0$ , протекающего через индуктивность непосредственно перед размыканием ключа;

2 заряд $q_1$ , протёкший через резистор $R$ за время, пока ключ был замкнут;

3 заряд $q_2$ , протёкший через резистор $R$ после того, как ключ был разомкнут;

4 работу $A$ , совершённую источником постоянного тока в течение всего процесса;

5 количество теплоты $Q$ , выделившееся в схеме, пока ключ был замкнут.

Решение

Количество теплоты $Q_0$ , выделившееся в схеме после размыкания ключа, равно магнитной энергии, запасённой в катушке на момент размыкания $Q_0=LI_0^2/2$ , откуда $I_0=\sqrt{2Q_0/L}$ .
Найдём связь между зарядом, протёкшим через резистор $R$ , и изменением магнитного потока $\Delta\Phi$ . Независимо от положения ключа напряжение на резисторе $R$ равно напряжению на катушке индуктивности. Поэтому в любой момент времени

L\frac{dI_L}{dt}=RI_R.

Умножая обе части этого уравнения на $dt$ и выполняя операцию интегрирования, получим:

L\Delta I_L=\Delta\Phi=R\Delta q,\qquad (5)

где $\Delta\Phi$ — изменение магнитного потока, $\Delta q$ — заряд, протёкший через резистор $R$ . Это соотношение справедливо для любого промежутка времени.

Применяя (5) к промежутку времени, в течение которого ключ был замкнут, найдём:

\Delta\Phi_1=LI_0,\quad\Delta q=q_1=\frac{\Delta\Phi_1}R=\frac{LI_0}R=\frac{\sqrt{2Q_0L}}R.

Соотношение (5) можно применить и к процессу после размыкания ключа. В этом случае $\Delta\Phi_2=-LI_0$ , так как поток $\Phi$ изменяется от значения $LI_0$ в первый момент времени до нулевого значения при полном затухании тока. Таким образом, $\Delta q=q_2=\Delta\Phi_2/R=-LI_0/R$ .

Следовательно, $q_2=-q_1$ — полный заряд, протёкший через резистор $R$ за всё время, равен нулю. При замкнутом ключе заряд протекает через резистор $R$ в положительном направлении (рис. 25), при разомкнутом — в противоположном направлении.

Работа источника тока равна произведению ЭДС на протёкший через него заряд. При замкнутом ключе через источник протёк заряд $q=q_1+q_0$ , где $q_1$ — заряд, протёкший через резистор $R$ , $q_0$ — заряд, протёкший по условию задачи через индуктивность. Следовательно, $A=\mathcal E q=\mathcal E q_0+(\mathcal E/R)\sqrt{2Q_0L}$ .

Вся работа в конечном итоге перешла в тепло.

Поскольку по условию задачи после размыкания ключа в схеме выделилось количество теплоты, равное $Q_0$ , то при замкнутом ключе в схеме выделилось количество теплоты

Q=A-Q_0=\mathcal E\left(q_0+\frac{\sqrt{2Q_0L}}R\right)-Q_0.

Критерии оценивания

Критерий	Баллы
Найдена сила тока $I_0$	2
Получена связь между $\Delta I_L$ и $\Delta q$ через $\Delta\Phi$	1
Определён заряд $q_1$	1
Определён заряд $q_2$	2
Получено выражение для $A$	2
Получено выражение для $Q$	2

Оригинал в Архива: finalT09.pdf