Съдържание

ВсОШ 2009, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 3 (11 кл.). 11 класс — Теплообмен с окружающей средой

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2009

XLIII Всероссийская олимпиада школьников по физике — Заключительный этап. Теоретический тур · 10 т.

Издание и авторы

Методическая комиссия по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников.

XLIII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Методическое пособие. Жуковский, 2009 г.

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников. Телефоны: (495) 408-80-77, 408-86-95. E-mail: physolymp@gmail.com.

Авторы задач:

Класс	Задача 1	Задача 2	Задача 3	Задача 4	Задача 5
9	Чивилёв В.	Слободянин В.	Проскурин М.	Воронов А.	—
10	Подлесный Д.	Слободянин В.	Воробьёв И.	Козел С., Слободянин В.	Шеронов А.
11	Захарченко К.	Шеронов А.	Козел С.	Тарнопольский Г.	Козел С.

Общая редакция — Козел С., Слободянин В. Оформление и вёрстка — Воробель О., Гущин И., Ерофеев И., Сметнёв Д.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε. © Авторский коллектив. Подписано в печать 6 мая 2009 г. в 19:43.

141700, Московская область, г. Долгопрудный. Московский физико-технический институт.

Условие

В сосуд, содержащий смесь воды и льда, в момент времени $\tau=0\ \text{мин}$ опустили нагреватель мощностью $P_0=400\ \text{Вт}$ . На рисунке 10 представлена зависимость температуры $t$ смеси от времени $\tau$ . Известно, что мощность $Q$ тепловых потерь пропорциональна разности температур $\Delta t=t-t_0$ , где $t_0$ — температура окружающей среды. При расчётах вы можете принять $t_0=0\ ^\circ\mathrm C$ и, следовательно, $Q=\alpha t$ , где $\alpha$ — постоянный коэффициент, не зависящий от температуры. Используя приведённый график зависимости $t(\tau)$ , найдите:

Удельная теплоёмкость воды $c_{\text{в}}=4200\ \text{Дж/(кг}\cdot\text{К)}$ ; удельная теплота плавления льда $\lambda=3{,}2\cdot10^5\ \text{Дж/кг}$ .

1 начальную массу льда $m_{\text{л}}$ в смеси;

2 общую массу $M$ содержимого сосуда;

3 коэффициент пропорциональности $\alpha$ ;

4 максимальную мощность нагревателя $P_{\max}$ , при которой вода никогда не закипит;

5 время $\tau_1$ от начала таяния льда, в течение которого вода в сосуде закипит, если мощность нагревателя $P_1=300\ \text{Вт}$ .

Решение

Горизонтальный участок графика соответствует времени $\tau_0$ плавления льда:

m_{\text{л}}\lambda=P_0\tau_0,\quad\text{откуда}\quad m_{\text{л}}=\frac{P_0\tau_0}\lambda\approx0{,}15\ \text{кг}.

Общую массу смеси найдём из наклона графика при $t_0=0\ ^\circ\mathrm C$ :

c_{\text{в}}M\Delta t=P_0\Delta\tau,\quad\text{откуда}\quad M=\frac{P_0}{c_{\text{в}}}\frac{\Delta\tau}{\Delta t}=\frac{P_0}{k_1c_{\text{в}}}.

Угловой коэффициент $k_1=(\Delta t/\Delta\tau)_{t=t_0}\approx0{,}20\ ^\circ\mathrm C/\text{с}$ , масса $M\approx0{,}48\ \text{кг}$ .

Коэффициент $\alpha$ найдём из наклона $k_2$ графика при $t=t_1=100\ ^\circ\mathrm C$ :

c_{\text{в}}M\Delta t=(P_0-\alpha t_1)\Delta\tau,\quad\text{откуда}\quad\alpha=\frac{P_0-c_{\text{в}}Mk_2}{t_1},

где $k_2=(\Delta t/\Delta\tau)_{t=t_1}\approx0{,}10\ ^\circ\mathrm C/\text{с}$ . Тогда $\alpha\approx2{,}0\ \text{Вт/}^\circ\mathrm C$ .

Максимальную мощность, при которой вода не закипит, найдём из условия: $P_{\max}-\alpha\cdot t_1=0$ , откуда $P_{\max}\approx200\ \text{Вт}$ .
Для ответа на последний вопрос нужно решить уравнение с разделяющимися переменными: $(P-Q)d\tau=(P-\alpha t)d\tau=c_{\text{в}}Mdt$ ,

\frac{d\tau}{c_{\text{в}}M}=\frac{dt}{P-\alpha t},\quad\text{откуда}\quad\tau=\frac{c_{\text{в}}M}\alpha\ln\frac P{P-\alpha t},

уравнение кривой нагревания воды от $0\ ^\circ\mathrm C$ до $100\ ^\circ\mathrm C$ .

Время $\tau_1$ закипания от начала процесса таяния льда при $P_1=300\ \text{Вт}$ равно

\tau_1=\frac{\lambda m_{\text{л}}}{P_1}+\frac{c_{\text{в}}M}\alpha\ln\frac{P_1}{P_1-\alpha t_1}\approx21\ \text{мин}.

Критерии оценивания

Критерий	Баллы
Найдена масса льда	1
Получена общая масса содержимого сосуда	2
Вычислен коэффициент пропорциональности $\alpha$	2
Определена $P_{\max}$	1
Записано уравнение, описывающее рост температуры	2
Найдено время до закипания при мощности нагревателя 300 Вт	2

Оригинал в Архива: finalT09.pdf