Съдържание

ВсОШ 2009, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 3 (10 кл.). 10 класс — Столкновение астероидов

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2009

XLIII Всероссийская олимпиада школьников по физике — Заключительный этап. Теоретический тур · 10 т.

Издание и авторы

Методическая комиссия по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников.

XLIII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Методическое пособие. Жуковский, 2009 г.

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников. Телефоны: (495) 408-80-77, 408-86-95. E-mail: physolymp@gmail.com.

Авторы задач:

Класс	Задача 1	Задача 2	Задача 3	Задача 4	Задача 5
9	Чивилёв В.	Слободянин В.	Проскурин М.	Воронов А.	—
10	Подлесный Д.	Слободянин В.	Воробьёв И.	Козел С., Слободянин В.	Шеронов А.
11	Захарченко К.	Шеронов А.	Козел С.	Тарнопольский Г.	Козел С.

Общая редакция — Козел С., Слободянин В. Оформление и вёрстка — Воробель О., Гущин И., Ерофеев И., Сметнёв Д.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε. © Авторский коллектив. Подписано в печать 6 мая 2009 г. в 19:43.

141700, Московская область, г. Долгопрудный. Московский физико-технический институт.

Условие

В открытом космосе три небольших астероида из-за гравитационного притяжения сближаются друг с другом вдоль общей прямой, неподвижной относительно звёзд. Отношение расстояний от среднего астероида до крайних остаётся равным $n=2$ вплоть до их столкновения (рис. 7). Масса левого астероида равна $m_1$ , масса центрального — $m_2$ . Найдите массу $m_3$ правого астероида.

Решение

Пусть ускорения астероидов равны $a_1$ , $a_2$ , $a_3$ и направлены так, как показано на рисунке 20. В системе отсчёта, связанной с третьим астероидом их ускорения равны $a'_1=a_1+a_3$ и $a'_2=a_2+a_3$ . Чтобы отношение расстояний от $m_1$ и $m_2$ до $m_3$ сохранялось, оно должно быть равно отношению ускорений $a'_1$ и $a'_2$ , то есть

a'_1:a'_2=(a_1+a_3):(a_2+a_3)=3r:2r=3:2.

Отсюда получим связь ускорений: $a_3=2a_1-3a_2$ . Из закона всемирного тяготения найдём ускорения астероидов:

a_1=G\frac{m_2}{r^2}+G\frac{m_3}{9r^2},\quad a_2=G\frac{m_3}{4r^2}-G\frac{m_1}{r^2},\quad a_3=G\frac{m_1}{9r^2}+G\frac{m_2}{4r^2}.

Подставляя три последние уравнения в выражение для связи ускорений и сокращая на общий множитель $G/r^2$ , получим:

\frac{m_1}9+\frac{m_2}4=2\left(m_2+\frac{m_3}9\right)-3\left(\frac{m_3}4-m_1\right).

Отсюда находим неизвестную массу $m_3=\dfrac{104m_1+63m_2}{19}$ .

Критерии оценивания

Критерий	Баллы
Высказана идея пропорциональности отношения относительных ускорений отношению расстояний	4
Получено уравнение связи между ускорениями	1
Записаны выражения для ускорений астероидов	3
Получен ответ	2

Оригинал в Архива: finalT09.pdf