Съдържание

ВсОШ 2009, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 4 (10 кл.). 10 класс — Нелинейная проводимость

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2009

XLIII Всероссийская олимпиада школьников по физике — Заключительный этап. Теоретический тур · 10 т.

Издание и авторы

Методическая комиссия по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников.

XLIII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Методическое пособие. Жуковский, 2009 г.

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников. Телефоны: (495) 408-80-77, 408-86-95. E-mail: physolymp@gmail.com.

Авторы задач:

Класс	Задача 1	Задача 2	Задача 3	Задача 4	Задача 5
9	Чивилёв В.	Слободянин В.	Проскурин М.	Воронов А.	—
10	Подлесный Д.	Слободянин В.	Воробьёв И.	Козел С., Слободянин В.	Шеронов А.
11	Захарченко К.	Шеронов А.	Козел С.	Тарнопольский Г.	Козел С.

Общая редакция — Козел С., Слободянин В. Оформление и вёрстка — Воробель О., Гущин И., Ерофеев И., Сметнёв Д.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε. © Авторский коллектив. Подписано в печать 6 мая 2009 г. в 19:43.

141700, Московская область, г. Долгопрудный. Московский физико-технический институт.

Условие

Некоторое вещество обладает нелинейной проводимостью. Удельное сопротивление $\rho$ этого вещества зависит от напряжённости $E$ электрического поля по следующему закону:

\rho=\rho_0+AE^2,

где $\rho_0=1{,}0\cdot10^7\ \text{Ом}\cdot\text{м}$ и $A=1{,}0\cdot10^{-3}\ \text{Ом}\cdot\text{м}^3/\text{В}^2$ . Этим веществом заполнено всё пространство между пластинами плоского конденсатора. Площадь пластин $S=1\ \text{м}^2$ .

1 Через конденсатор течёт ток. Найдите максимально возможное значение силы тока $I_{\max}$ .

2 Предполагая, что расстояние между пластинами конденсатора $d=1\ \text{см}$ , определите максимальную тепловую мощность, которая может выделяться внутри конденсатора при изменении напряжения между пластинами. Постройте качественный график зависимости мощности $P$ от напряжения $U$ .

3 Пусть теперь напряжение на конденсаторе постоянно: $U_1=2{,}0\cdot10^3\ \text{В}$ . Какая максимальная мощность может выделяться внутри конденсатора, если изменять расстояние между пластинами? При каком значении $d=d_1$ достигается максимальная мощность? Предполагается, что конденсатор полностью заполнен веществом при любых значениях $d$ . Постройте качественный график зависимости выделяемой мощности $P$ от расстояния $d$ между пластинами.

Решение

Преобразуем выражение для $\rho$ : $\rho=\rho_0+AE^2=A(\rho_0/A+E^2)=A(E_0^2+E^2)$ , где $E_0=\sqrt{\rho_0/A}=10^5\ \text{В/м}$ .

Найдём выражение для силы тока, протекающего через конденсатор:

I=\frac UR=\frac{Ed}{\rho d/S}=\frac SA\frac E{E_0^2+E^2}.\qquad (4)

Выразим из (4) напряжённость электрического поля $E$ как функцию силы тока $I$ :

E^2-2\left(\frac{S}{2AI}\right)E+E_0^2=0,\quad\text{откуда}\quad E_{1,2}=\frac S{2AI}\pm\sqrt{\left(\frac S{2AI}\right)^2-E_0^2}.

Выражение для $E$ имеет вещественные корни, если $\left(\dfrac S{2AI}\right)^2-E_0^2\geq0$ .

Отсюда найдём $I_{\max}=\dfrac S{2AE_0}=\dfrac S{2\sqrt{A\rho_0}}=5\ \text{мА}$ .

Мощность, выделяемая в конденсаторе:

P(U)=\frac{U^2}R=\frac S{Ad}\frac{U^2}{E_0^2+E^2}=\frac{Sd}A\frac{U^2}{U_0^2+U^2},

где $U_0=E_0d=1\ \text{кВ}$ .

С ростом напряжения мощность растёт и стремится к $P_{\max}=Sd/A=10\ \text{Вт}$ при $U\to\infty$ . Заметим, что при $U\ll U_0$ можно записать:

P\simeq\frac{Sd}A\frac{U^2}{U_0^2}.

График $P$ от $U$ удобно строить в координатах $P/P_{\max}$ и $U/U_0$ (рис. 21).

Представим выражение для мощности, выделяемой в конденсаторе, как функцию от расстояния $d$ :

P(d)=\frac{U_1^2}R=\frac{SU_1^2/d}{\rho_0+A(U_1/d)^2}=SU_1^2\frac d{AU_1^2+\rho_0d^2}=\frac{Sd_0}A\left(\frac{d_0}d+\frac d{d_0}\right)^{-1},

где введено обозначение $d_0=U_1/E_0=2\ \text{см}$ .

Заметим, что

\frac{d_0}d+\frac d{d_0}=\left(\frac{d_0}d-2+\frac d{d_0}\right)+2=\left(\sqrt{\frac{d_0}d}-\sqrt{\frac d{d_0}}\right)^2+2.

Это выражение принимает минимальное значение при $d=d_0$ . Соответственно, мощность достигает максимума при $d=d_0$ :

P'_{\max}=P(d_0)=\frac{Sd_0}{2A}=10\ \text{Вт}.

Совпадение $P_{\max}$ и $P'_{\max}$ случайно. Заметим, что при $d\ll d_0$ мощность

P(d)\simeq\frac{SU_1^2d}{AU_1^2}=\frac{Sd}A.

График $P$ от $d$ удобно строить в координатах $P/P'_{\max}$ и $d/d_0$ (рис. 22):

\frac P{P_{\max}}=\frac{2(d/d_0)}{1+(d/d_0)^2}.

Критерии оценивания

Критерий	Баллы
Найдена максимальная сила тока $I_{\max}$	2
Найдено условие максимума $P$ в первом случае	1
Определена $P_{\max}$ в первом случае	1
Построен график для первого случая	1
Найдено условие максимума $P$ во втором случае	2
Определена $P_{\max}$ во втором случае	2
Построен график для второго случая	1

Оригинал в Архива: finalT09.pdf