Съдържание

ВсОШ 2010, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 1 (9 кл.). 9 класс — Муаровые узоры

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2010

XLIV Всероссийская олимпиада школьников по физике — Экспериментальный тур · 15 т.

Издание и авторы

Белгород, 2010 г. Методическое пособие.

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников. Телефоны: (495) 408-80-77, 408-86-95. E-mail: physolymp@gmail.com

Класс	Задача 1	Задача 2
9	Соловьёва К.	Старков Г.
10	Шевченко В.	Кудряшова Н., Бычина О.
11	Проскурин М.	Дорошенко А.

Общая редакция — Козел С., Слободянин В.

Оформление и вёрстка — Сметнёв Д.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε. © Авторский коллектив. Подписано в печать 16 апреля 2010 г. в 01:40.

141700, Московская область, г. Долгопрудный, Московский физико-технический институт.

Условие

Муаровый узор (муар, от французского moiré) — узор, который возникает при наложении двух периодических сетчатых рисунков (рис. 1). Явление обусловлено тем, что повторяющиеся элементы двух рисунков то накладываются друг на друга, то образуют промежутки.

Само понятие «муар» происходит от названия ткани муар. Муаровый узор, например, наблюдается при наложении друг на друга различных частей тюлевых занавесок. Когда-то муар использовали при пошиве дорогих костюмов, лент и так далее.

Муаровый узор возникает при цифровом фотографировании и сканировании сетчатых и других периодических изображений, если их период близок к расстоянию между светочувствительными элементами оборудования. Этот факт используется в одном из механизмов защиты денежных знаков от подделки: на купюры наносится волнообразный рисунок, который при сканировании может покрыться очень заметным узором, отличающим подделку от оригинала.

1. В данном эксперименте вам предстоит использовать эффект муара для определения периода $d_A$ сетчатых рисунков.

При параллельном наложении (то есть когда листы полностью совпадают) друг на друга двух решёток $A$ с одинаковым периодом $d_A$ можно наблюдать равномерно серую картину. При относительном повороте решёток на угол $\theta$ появляются муаровые полосы.

Снимите зависимость общего количества $n$ наблюдаемых полос от угла поворота $\theta$ . Данные измерений занесите в таблицу 1. Общее количество полос $n$ (на рисунке 1 $n=9$ ) — это количество полос на отрезке $S$ , где $S$ зависит от $\theta$ и длины решётки $L$ . Подумайте, какие функции от $n$ и $\theta$ откладывать по осям, чтобы зависимость имела линейный вид. Постройте график этой зависимости. По графику определите значение периода $d_A$ решётки $A$ . Приведите расчётные формулы и пояснительные рисунки.

2. Теперь наложите параллельно друг на друга решётки $A$ и $B$ . Вы должны увидеть структуру из тёмных и светлых полос, параллельных линиям решётки. Наблюдаемый эффект называется биения. Найдите разность периодов $\Delta d=|d_A-d_B|$ решёток $A$ и $B$ .

3. Определите, у какой из решёток период больше, и найдите значение периода $d_B$ решётки $B$ . Не забудьте подробно описать и обосновать ваш метод.

4. Для передачи на печати различных оттенков серых цветов используются изображения с разным отношением количества чёрных и белых точек. Уровнем серого (или просто серостью) назовём отношение количества чёрных точек к количеству всех точек. Таким образом, уровень $100\%$ будет соответствовать чёрному цвету, а $0\%$ — белому. Используя образцы с известным уровнем серого (рис. 2), определите ширину линий решётки $A$ . Приведите расчётные формулы.

Таблица 1

$\theta$ ,	$n$ ,
…	…	…	…

Оборудование. Две решётки $A$ , напечатанные на прозрачной плёнке (размеры решёток $15\ \text{см}\times10\ \text{см}$ ); решётка $B$ , напечатанная на прозрачной плёнке; лист пенокартона, булавки для закрепления листов на пенокартоне; цветовые образцы с указанным уровнем серого.

Пенокартон исполняет роль подставки в эксперименте. На всех решётках изображён транспортир с ценой деления $1^\circ$ .

Решение

Расстояние между полосами $l$ будет равно половине длинной диагонали ромба, образованного пересечениями центров линий (рис. 9). Поскольку из геометрии $nl=S=L/\cos(\theta/2)$ , то:

d_A=2\frac{L\sin(\theta/2)}{n\cos(\theta/2)},\qquad\text{или}\qquad\operatorname{tg}\frac{\theta}{2}=\frac{d_A}{2L}n.

Построим график зависимости $\operatorname{tg}(\theta/2)$ от $n$ . По точкам проведём прямую и по значению углового коэффициента определим период решётки $d_A$ по формуле $d_A=2Lk$ , где $k$ — значение коэффициента наклона графика.

При параллельном наложении двух решёток с разными периодами образуются тёмные и светлые полосы. Там, где линии решёток совпадают, образуются светлые полосы, а там, где из-за различия в периодах линии решёток перестают совпадать, — тёмные (рис. 10). Совпадение полос происходит через интервал $L$ , на котором у решётки, например $A$ , укладывается на один период больше, чем у решётки $B$ .

Пусть расстояние между серединами светлых полос равно $L$ . Тогда:

L=(n+1)d_1=nd_2,\qquad\text{откуда}\qquad\Delta d=d_2-d_1=\frac{L}{n(n+1)}=\frac{d_1d_2}{L}\approx\frac{d_A^2}{L}.

Но при этом не ясно, период какой решётки больше.

Если внимательно рассмотреть рисунок 11, то можно увидеть, что при смещении более частой решётки (на рисунке серой) вправо на расстояние $\Delta d$ , совпадающие полосы (середина светлой полосы) переместятся на расстояние $d_2$ в ту же сторону. Поэтому, если мы будем сдвигать решётку $A$ относительно $B$ и полосы будут «бежать» в том же направлении, то это будет значить, что $d_A<d_B$ ; если же полосы будут «бежать» в обратном направлении, то $d_A>d_B$ .

Пусть ширина полосы $x$ (рис. 12), тогда уровень серого решётки будет равна $k=x/d$ . Сравним серости решётки с образцами, то есть подберём такие два образца близкой серости, что серость решётки будет принимать промежуточное значение. Найдём $x$ .

Результат можно улучшить, заметив, что если мы положим две сетки ортогонально (рис. 13), то для них относительное количество белых точек будет $\widetilde{k}=(d-x)^2/d^2$ . Так что, сравнив серость перпендикулярно скрещенных решёток с образцами, можно получить величину $x$ другим способом, а окончательный результат усреднить.

Критерии оценивания

Критерий	Баллы
Заполнена таблица экспериментальных данных	3
Найдена формула, связывающая $\theta$ , $d_A$ и $n$	1
Построен график зависимости $f(\theta)$ от $n$	3
Определён $d_A$	2
Определён $\vert d_A-d_B\vert$	2
Установлено, период какой решётки больше	2
Определена ширина линии $x$	2

Оригинал в Архива: finalE10.pdf