Съдържание

ВсОШ 2010, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 2 (11 кл.). 11 класс — Движение без проскальзывания

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2010

XLIV Всероссийская олимпиада школьников по физике — Заключительный этап. Теоретический тур · 10 т.

Издание и авторы

Методическая комиссия по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников.

XLIV Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Методическое пособие. Белгород, 2010 г.

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников. Телефоны: (495) 408-80-77, 408-86-95. E-mail: physolymp@gmail.com.

Авторы задач:

Класс	Задача 1	Задача 2	Задача 3	Задача 4	Задача 5
9	Ерофеев И.	Козел С.	Фольклор	Козел С.	Слободянин В.
10	Козел С.	Малеев А.	Паверман В.	Сметнёв Д.	Шеронов А.
11	Плис В.	Александров Д.	Козел С.	Матвеев Х., Проскурин М.	Гуденко А.

Общая редакция — Козел С., Слободянин В. Оформление и вёрстка — Воробель О., Гущин И., Ерофеев И., Сметнёв Д.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε. © Авторский коллектив. Подписано в печать 13 апреля 2010 г. в 04:33.

141700, Московская область, г. Долгопрудный. Московский физико-технический институт.

Неполнота архивного источника

В архивном PDF отсутствуют печатные страницы 22–23. Условия всех 15 задач сохранены полностью. Решение задачи 5 для 10 класса обрывается перед окончанием и критериями оценивания; начало решения задачи 1 для 11 класса, включая рисунок 24, также отсутствует. Доступные фрагменты решений приведены без восстановления недостающего текста.

Условие

На гладкой горизонтальной поверхности стола покоится длинная доска массы $m_1$ , на правый край которой помещён брусок массы $m_2$ . Брусок соединён со стенкой лёгкой нерастянутой пружиной жёсткости $k$ . К доске прикреплён груз массы $M$ с помощью лёгкой нерастяжимой нити, перекинутой через блок (рис. 12). В начальный момент система покоится. Между доской и бруском существует сухое трение. Коэффициент трения между доской и бруском равен $\mu$ .

Какой путь $L$ преодолеет брусок к тому моменту времени, когда между ним и доской начнётся проскальзывание? Исследуйте, как результат зависит от $\mu$ . Найдите время $t$ движения бруска, за которое он преодолеет расстояние $L$ .

Решение

Применим второй закон Ньютона для груза, доски и бруска:

T-F_\text{тр}=m_1a_1,

Mg-T=Ma_1,

F_\text{тр}-kx=m_2a_2.

Здесь $T$ — сила натяжения нити, $F_\text{тр}$ — сила трения, $x$ — удлинение пружины.

Пока $F_\text{тр}<\mu m_2g$ , проскальзывания не будет. Искомый путь $L$ найдём из условия $a_1=a_2$ , или иначе:

\frac{Mg-\mu m_2g}{m_1+M}=\frac{\mu m_2g-kx}{m_2}.

Отсюда:

L=\frac gk\frac{m_2}{m_1+M}\cdot\bigl(\mu(m_1+m_2+M)-M\bigr).

Если:

\mu<\frac M{m_1+m_2+M}=\mu_{\min},

проскальзывание начинается сразу, то есть $L=0$ .

При достаточно большом коэффициенте трения $\mu$ система, будучи предоставленная самой себе, начнёт совершать колебательное движение с амплитудой $A=Mg/k$ . Максимальное растяжение пружины равно $2A$ . Тогда из условия $L_{\max}=2A$ , мы сможем определить минимальный коэффициент трения $\mu_0$ , при котором проскальзывания не будет:

\mu_0=\frac M{m_2}\frac{2m_1+m_2+2M}{m_1+m_2+M}.

Итак, если $\mu>\mu_0$ , то $L\to\infty$ .

Если:

\frac M{m_1+m_2+M}<\mu<\mu_0=\frac M{m_2}\frac{2m_1+m_2+2M}{m_1+m_2+M},

то:

L=\frac gk\frac{m_2}{m_1+M}\cdot\bigl(\mu(m_1+m_2+M)-M\bigr).

Если:

\mu<\mu_{\min}=\frac M{m_1+m_2+M},\quad\text{то}\quad L=0.

Зависимость $L$ от $\mu$ изображена на рисунке 25.

Теперь вычислим время движения бруска до начала проскальзывания. При этом система движется по гармоническому закону:

L=\frac{Mg}k(1-\cos\omega t),

где $\omega^2=k/(m_1+m_2+M)$ . Отсюда получим, что:

t=\sqrt{\frac{m_1+m_2+M}k}\cdot\arccos\left(1-\frac{kL}{Mg}\right)\quad\text{при}\quad\mu\le\mu_0,

а при $\mu>\mu_0$ проскальзывание никогда не начнётся.

Критерии оценивания

Критерий	Баллы
Записан второй закон Ньютона для всех движущихся тел	1
Определён $\mu_{\min}$	2
Определён $\mu_0$	2
Найден характер движения при $\mu>\mu_0$	1
Найден путь при $\mu_{\min}<\mu<\mu_0$	2
Определено время движения бруска	2

Оригинал в Архива: finalT10.pdf