Съдържание

ВсОШ 2010, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 3 (11 кл.). 11 класс — Тепловая машина

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2010

XLIV Всероссийская олимпиада школьников по физике — Заключительный этап. Теоретический тур · 10 т.

Издание и авторы

Методическая комиссия по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников.

XLIV Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Методическое пособие. Белгород, 2010 г.

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников. Телефоны: (495) 408-80-77, 408-86-95. E-mail: physolymp@gmail.com.

Авторы задач:

Класс	Задача 1	Задача 2	Задача 3	Задача 4	Задача 5
9	Ерофеев И.	Козел С.	Фольклор	Козел С.	Слободянин В.
10	Козел С.	Малеев А.	Паверман В.	Сметнёв Д.	Шеронов А.
11	Плис В.	Александров Д.	Козел С.	Матвеев Х., Проскурин М.	Гуденко А.

Общая редакция — Козел С., Слободянин В. Оформление и вёрстка — Воробель О., Гущин И., Ерофеев И., Сметнёв Д.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε. © Авторский коллектив. Подписано в печать 13 апреля 2010 г. в 04:33.

141700, Московская область, г. Долгопрудный. Московский физико-технический институт.

Неполнота архивного источника

В архивном PDF отсутствуют печатные страницы 22–23. Условия всех 15 задач сохранены полностью. Решение задачи 5 для 10 класса обрывается перед окончанием и критериями оценивания; начало решения задачи 1 для 11 класса, включая рисунок 24, также отсутствует. Доступные фрагменты решений приведены без восстановления недостающего текста.

Условие

У тепловой машины, работающей по циклу Карно, температура нагревателя $T_1=800\ \text{К}$ , а температура $T$ холодильника зависит от полезной мощности $P$ машины. Холодильник представляет собой массивное теплоизолированное от окружающей среды тело, которое посредством теплопроводности передаёт холодному резервуару с температурой $T_2=300\ \text{К}$ всю тепловую энергию $Q_2$ , полученную за время $\Delta t$ работы машины (рис. 13). Теплопроводность осуществляется по закону $Q_2=\alpha(T-T_2)\Delta t$ , где $\alpha=1{,}0\ \text{кВт/К}$ .

1 Выразите мощность $P$ тепловой машины через температуры $T_1$ , $T$ и $T_2$ .

2 Вычислите температуру $T_m$ холодильника, при которой мощность машины максимальна.

3 Определите эту максимальную мощность $P_{\max}$ .

4 Найдите КПД $\eta$ тепловой машины при работе с максимальной мощностью.

Решение

Рассмотрим работу тепловой машины за время $\Delta t=1\ \text{с}$ . Запишем выражение для КПД $\eta$ цикла Карно:

\eta=\frac{Q_1-Q_2}{Q_1}=\frac P{P+P_2}=\frac{T_1-T}{T_1}.

Здесь $P$ — полезная мощность машины, $P_2$ — тепловая мощность, передаваемая холодильнику. Из этого выражения следует:

P=P_2\frac{T_1-T}T.

Согласно условию задачи $P_2=(Q_2)_{\Delta t=1\,\text{с}}=\alpha(T-T_2)$ .

Из этих соотношений следует:

P=\alpha\frac{(T-T_2)(T_1-T)}T=\alpha\left[T_1+T_2-\left(T+\frac{T_1T_2}T\right)\right].

Величина $(T+T_1T_2/T)$ принимает минимальное значение при $T=T_m=\sqrt{T_1T_2}=489{,}9\ \text{К}\approx490\ \text{К}$ . Следовательно:

P_{\max}=\alpha\left[T_1+T_2-2\sqrt{T_1T_2}\right]=\alpha\left[\sqrt{T_1}-\sqrt{T_2}\right]^2\approx120\ \text{кВт},

при этом:

\eta=\frac{T_1-T_m}{T_m}=38{,}7\ \%.

Критерии оценивания

Критерий	Баллы
Получено выражение для $P$ через $T_1$ , $T_2$ и $T$	4
Найдена температура, при которой мощность максимальна	3
Найдена максимальная мощность	2
Определено КПД	1

Оригинал в Архива: finalT10.pdf