Съдържание

ВсОШ 2010, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 3 (10 кл.). 10 класс — Шайба на наклонной плоскости

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2010

XLIV Всероссийская олимпиада школьников по физике — Заключительный этап. Теоретический тур · 10 т.

Издание и авторы

Методическая комиссия по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников.

XLIV Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Методическое пособие. Белгород, 2010 г.

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников. Телефоны: (495) 408-80-77, 408-86-95. E-mail: physolymp@gmail.com.

Авторы задач:

Класс	Задача 1	Задача 2	Задача 3	Задача 4	Задача 5
9	Ерофеев И.	Козел С.	Фольклор	Козел С.	Слободянин В.
10	Козел С.	Малеев А.	Паверман В.	Сметнёв Д.	Шеронов А.
11	Плис В.	Александров Д.	Козел С.	Матвеев Х., Проскурин М.	Гуденко А.

Общая редакция — Козел С., Слободянин В. Оформление и вёрстка — Воробель О., Гущин И., Ерофеев И., Сметнёв Д.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε. © Авторский коллектив. Подписано в печать 13 апреля 2010 г. в 04:33.

141700, Московская область, г. Долгопрудный. Московский физико-технический институт.

Неполнота архивного источника

В архивном PDF отсутствуют печатные страницы 22–23. Условия всех 15 задач сохранены полностью. Решение задачи 5 для 10 класса обрывается перед окончанием и критериями оценивания; начало решения задачи 1 для 11 класса, включая рисунок 24, также отсутствует. Доступные фрагменты решений приведены без восстановления недостающего текста.

Условие

Небольшую шайбу толкнули вверх вдоль наклонной плоскости с углом наклона $\alpha$ с начальной скоростью $v_0$ (рис. 7).

1 Через какое время $t_0$ шайба вернётся в исходную точку при отсутствии трения?

2 При каких значениях коэффициента трения $\mu$ шайба возвратится назад?

3 Определите время $t_\mu$ возврата шайбы в исходную точку при наличии трения.

4 При каком значении коэффициента $\mu$ время $t_\mu$ будет равно $t_0$ — времени возврата шайбы при отсутствии трения?

Решение

При отсутствии трения время возврата:

t_0=\frac{2v_0}{g\sin\alpha}.

При наличии сухого трения шайба скользит вверх по наклонной плоскости с отрицательным ускорением, равным по модулю:

a_1=g(\sin\alpha+\mu\cos\alpha).

Время $t_1$ подъёма шайбы до остановки:

t_1=\frac{v_0}{a_1}=\frac{v_0}{g(\sin\alpha+\mu\cos\alpha)}.

При этом шайба до остановки пройдёт путь:

S=v_0t_1-\frac{a_1t_1^2}{2}=t_1\left(v_0-\frac{v_0}{2}\right)=\frac{v_0^2}{2g(\sin\alpha+\mu\cos\alpha)}.

После остановки в верхней точке шайба начнёт скользить вниз по наклонной плоскости при условии $\mu<\operatorname{tg}\alpha$ . В этом случае ускорение шайбы:

a_2=g(\sin\alpha-\mu\cos\alpha).

Время $t_2$ спуска найдём по формуле $t_2^2=2S/a_2$ :

t_2=\frac{v_0}{g}\frac1{\sqrt{\sin^2\alpha-\mu^2\cos^2\alpha}}.

Время $t_\mu$ возврата шайбы:

t_\mu=t_1+t_2=\frac{v_0}{g}\left(\frac1{\sin\alpha+\mu\cos\alpha}+\frac1{\sqrt{\sin^2\alpha-\mu^2\cos^2\alpha}}\right).

Введём обозначение:

x=\frac\mu{\operatorname{tg}\alpha}.

Тогда выражение для $t_\mu$ можно преобразовать к виду:

t_\mu=\frac{v_0}{g\sin\alpha}\left(\frac1{1+x}+\frac1{\sqrt{1-x^2}}\right).

При $x\to1$ $t_\mu\to\infty$ . Найдём условие, при котором $t_\mu=t_0$ .

Приравняв $t_\mu=t_0$ , получим:

\frac1{1+x}+\frac1{\sqrt{1-x^2}}=2.

Это уравнение можно привести к виду:

\frac{1+x}{\sqrt{1-x^2}}=1+2x,\quad\text{откуда}\quad x-2x^3=0.

Так как $x\ge0$ , то корнями этого уравнения являются $x_1=0$ и $x_2=1/\sqrt2$ . Первое значение соответствует движению без трения, а для второго решения $\mu_0=\operatorname{tg}\alpha/\sqrt2$ . При $\mu>\mu_0$ время возврата $t_\mu>t_0$ .

Критерии оценивания

Критерий	Баллы
Найдено время $t_0$	1
Определено, при каких $\mu$ шайба вернётся назад	1
Определено время $t_\mu$ возврата при наличии трения	4
Найден $\mu$ , при котором $t_\mu=t_0$	4

Оригинал в Архива: finalT10.pdf