Съдържание

ВсОШ 2010, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 4 (11 кл.). 11 класс — Движение заряженных частиц

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2010

XLIV Всероссийская олимпиада школьников по физике — Заключительный этап. Теоретический тур · 10 т.

Издание и авторы

Методическая комиссия по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников.

XLIV Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Методическое пособие. Белгород, 2010 г.

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников. Телефоны: (495) 408-80-77, 408-86-95. E-mail: physolymp@gmail.com.

Авторы задач:

Класс	Задача 1	Задача 2	Задача 3	Задача 4	Задача 5
9	Ерофеев И.	Козел С.	Фольклор	Козел С.	Слободянин В.
10	Козел С.	Малеев А.	Паверман В.	Сметнёв Д.	Шеронов А.
11	Плис В.	Александров Д.	Козел С.	Матвеев Х., Проскурин М.	Гуденко А.

Общая редакция — Козел С., Слободянин В. Оформление и вёрстка — Воробель О., Гущин И., Ерофеев И., Сметнёв Д.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε. © Авторский коллектив. Подписано в печать 13 апреля 2010 г. в 04:33.

141700, Московская область, г. Долгопрудный. Московский физико-технический институт.

Неполнота архивного источника

В архивном PDF отсутствуют печатные страницы 22–23. Условия всех 15 задач сохранены полностью. Решение задачи 5 для 10 класса обрывается перед окончанием и критериями оценивания; начало решения задачи 1 для 11 класса, включая рисунок 24, также отсутствует. Доступные фрагменты решений приведены без восстановления недостающего текста.

Условие

В свободном пространстве на окружности радиуса $R_0$ в вершинах вписанного квадрата расположены 4 точечные массы $m$ . Две из них несут заряд $+q$ , а две другие — $-q$ (рис. 14). В начальный момент этим материальным точкам сообщают одинаковые по модулю скорости, направленные по касательной к окружности по часовой стрелке.

Известно, что достигаемое в процессе движения минимальное расстояние от любой из точечных масс до центра $O$ начальной окружности равно $R_1$ ( $R_1<R_0$ ). Считайте, что в любой момент времени заряды находятся в вершинах квадрата с центром в точке $O$ . Действием гравитационных сил можно пренебречь.

1 Выполните необходимые расчёты и определите траектории движения материальных точек.

2 Определите характерное время движения материальных точек.

Решение

В силу симметрии все материальные точки будут двигаться по одинаковым траекториям, оставаясь в каждый момент времени на окружности некоторого переменного радиуса $r(t)$ в вершинах квадрата со сторонами, равными $a=\sqrt2r(t)$ .

Рассмотрим одну из материальных точек. На неё действуют силы $\vec F_1$ , $\vec F_2$ и $\vec F_3$ со стороны остальных частиц (рис. 26). По закону Кулона модули этих сил:

F_1=F_2=\frac1{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{2r^2},\qquad F_3=\frac1{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{4r^2}.

Результирующая сила всегда направлена к центру (точка $O$ ), а её модуль равен:

F(r)=\frac1{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{q^2}{2r^2}\sqrt2-\frac{q^2}{4r^2}\right)=\frac1{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{r^2}\left(\frac{2\sqrt2-1}4\right).

Отсюда следует, что каждая из материальных точек движется так, как если бы из центра её притягивал заряд, противоположный по знаку и по абсолютной величине равный

Q=q\sqrt{\left(\frac{2\sqrt2-1}4\right)}.

Формула для $F(r)$ аналогична закону Кулона (или закону всемирного тяготения), так как $F(r)\sim1/r^2$ . Поэтому траектории точек — эллипсы с большой осью $R_0+R_1$ . Точка $O$ находится в одном из фокусов этих эллипсов.

Характерное время — период $T$ обращения по эллиптической орбите. Он может быть найден из третьего закона Кеплера.

Найдём сначала период $T_0$ обращения точечной массы $m$ , движущейся под действием $F(r)$ по круговой орбите радиуса $R_0$ :

T_0=\frac{2\pi R_0}{v_0},\qquad\frac{mv_0^2}{R_0}=F(r)=\frac1{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{r^2}\left(\frac{2\sqrt2-1}4\right).

Из этих соотношений следует:

v_0=q\sqrt{\frac1{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{2\sqrt2-1}{4mR_0}}.

Такая скорость должна быть сообщена материальным точкам, чтобы они двигались по окружности радиуса $R_0$ . Тогда:

T_0=\frac{2\pi}q\sqrt{4\pi\varepsilon_0\frac{4mR_0^3}{2\sqrt2-1}}.

По третьему закону Кеплера:

\left(\frac T{T_0}\right)^2=\left(\frac{R_0+R_1}{2R_0}\right)^3,\quad\text{откуда}\quad T=T_0\left(\frac{R_0+R_1}{2R_0}\right)^{3/2}.

Подставляя в эту формулу выражение для $T_0$ , получим:

T=\frac{2\pi}q\sqrt{2\pi\varepsilon_0\frac{m(R_0+R_1)^3}{2\sqrt2-1}}.

Критерии оценивания

Критерий	Баллы
Сделан вывод о характере движения точек	1
Определены силы, действующие на каждую точку	1
Найдено выражение для $F(r)$	1
Определён эффективный заряд $Q$	1
Объяснено, почему точки движутся по эллипсу	1
Использован третий закон Кеплера	1
Записано уравнение движения точечной массы	1
Определён период $T_0$	2
Найдено выражение для $T$	1

Оригинал в Архива: finalT10.pdf