Съдържание

ВсОШ 2010, Регионален етап, 9–11 клас — Задача 10.5. · Полость в стене

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2010

XLIV Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Теоретический тур. 9, 10 и 11 классы. Методическое пособие. МФТИ, 2009/2010 уч.г.

Условие

В толстой бетонной стене была обнаружена внутренняя полость. Для определения её объёма в стене просверлили тонкое отверстие, соединяющее полость с атмосферой. Через это отверстие тонким шлангом полость герметично соединили с поршневым насосом и манометром (рис. 7). В начальном состоянии поршень насоса находился в верхнем положении, а давление в системе насос–полость равнялось атмосферному. Затем была исследована зависимость давления в системе от объёма воздуха в насосе $p(V)$ . Полученные экспериментальные результаты представлены в таблице 1.

Таблица 1

$V$ , л	$p$ , кПа
1,0	100
0,8	110
0,6	130
0,4	150
0,2	175

Путём графического анализа результатов эксперимента, определите объём внутренней полости. Погрешность измерения давления в данном эксперименте составляла 3%. Погрешностью определения объёма под поршнем насоса можно пренебречь. Уменьшение объёма насоса производилось квазистатически, то есть настолько медленно, что температуру воздуха в системе насос–полость на протяжении всего эксперимента можно считать равной температуре окружающей среды.

Отговори

Решение

Пусть объём полости равен $V_0$ . Тогда из уравнения состояния:

p(V + V_0) = C = \mathrm{const}\,, \qquad \text{или} \qquad V = \frac{C}{p} - V_0,

так как температура воздуха по условию задачи постоянна. Если построить график в координатах $(p^{-1}, V)$ , то он должен представлять из себя прямую линию (рис. 22).

Таблица 1

$p^{-1}$ , МПа $^{-1}$	$\Delta p^{-1}$ , МПа $^{-1}$
10,0	0,3
9,1	0,3
7,7	0,2
6,7	0,2
5,7	0,2

Значения для построения графика приведены в таблице 1. Заметим, что удобнее строить график зависимости $V(p^{-1})$ , а не $p(V^{-1})$ , так как мы пытаемся определить объём. Это уменьшит погрешность его определения и облегчит обработку результатов.

Оценим погрешность $p^{-1}$ :

\Delta p^{-1} = \frac{1}{p} - \frac{1}{p + \Delta p} = \frac{\Delta p}{p(p + \Delta p)} \approx \frac{\Delta p}{p^2} \approx \frac{\varepsilon_p}{p},

где $\varepsilon_p = 3\%$ — относительная погрешность измерения давления.

Отложим на графике экспериментальные точки. Проведём через них прямые с наименьшим и наибольшим возможным наклоном. Так мы получим значения $V_{\min}$ и $V_{\max}$ , соответствующие пересечению графика с осью $V$ . Из этих значений оценим погрешность $\Delta V \approx (V_{\max} - V_{\min})/2$ .

В итоге получаем ответ $V_0 = (0{,}82 \pm 0{,}05)$ л.

Примерные критерии оценивания

Записано уравнение состояния — 2
Построение графика:
- Если построен график $V(p)$ или $p(V)$ (нелинейный) — 1
- Если построен график $V(1/p)$ или $p(1/V)$ (линейный) — 4
Определён $V_0$ — 2
Оценена погрешность определения $V_0$ — 2

График V, л (от −0,6 до 1,0) от p⁻¹, МПа⁻¹ (деления 2, 6, 8, 10): экспериментальные точки с погрешностями, через них проведены сплошная прямая и штриховые прямые наименьшего и наибольшего наклона, продолженные до пересечения с осью V ниже нуля. — Рис. 22

Поршневой насос со шкалой объёма V (деления 0,2; 0,4; 0,6; 0,8), соединённый трубкой с манометром p и через отверстие с полостью (штриховой контур) внутри заштрихованной стены. — Рис. 7

Оригинал в Архива: region10T.pdf