ВсОШ 2010, Регионален етап, 9–11 клас — Задача 10.4. · «Сферический» резистор

• 10 Ом

Подключим к узлам $A$ и $B$ батарейку. Сопротивление участка проволоки между двумя ближайшими узлами $r = R/4$. В силу симметрии цепи относительно плоскости, в которой лежит кольцо $ABCD$, точки $E$ и $F$ можно соединить между собой. При этом сопротивление $R_{AB}$ не изменится. Нарисуем эквивалентную схему получившейся цепи (рис. 18).

Если узел $E$ (рис. 19) разъединить так, как показано на рисунке 20, то сопротивление $R_{AB}$ не изменится, потому что после разъединения $E$ напряжение на участке $E_1E_2$ будет равно нулю в силу симметрии. Теперь легко вычислить сопротивление отдельных участков:

Эквивалентная схема изображена на рисунке 21. Сопротивление получившейся цепи $R_{AB} = 5r/12 = 5R/48 = 10$ Ом.

Примерные критерии оценивания

• Показано, что точки $E$ и $F$ можно соединить — 3
• Схема приведена к упрощённому виду — 2
• Приведена идея разъединения узла $E$ — 3
• Вычислено $R_{AB}$ — 2