Съдържание

ВсОШ 2010, Регионален етап, 9–11 клас — Задача 10.3. · Процесс с идеальным газом

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2010

XLIV Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Теоретический тур. 9, 10 и 11 классы. Методическое пособие. МФТИ, 2009/2010 уч.г.

Условие

Идеальный газ в количестве $\nu$ моль участвует в процессе $AB$ , изображённом на рисунке 5 в координатах $\rho(T)$ , где $\rho$ — плотность газа, а $T$ — его температура. При каких условиях (температуре) давление газа на 25% меньше максимального? Температура $T_0$ известна.

График в осях ρ (вертикальная) и T (горизонтальная): отрезок AB убывающей прямой, продолжение которой штрихом пересекает ось ρ и ось T в точке T₀; начало координат 0. — Рис. 5

Отговори

Решение

Запишем уравнение Менделеева–Клапейрона в виде:

p = \frac{R}{\mu}\rho T, \qquad (4)

где $p$ — давление газа. Если обозначить $t = T/T_0$ , а $\rho_0$ — максимальная плотность газа, то уравнение рассматриваемого процесса примет вид:

\rho = \rho_0\,(1 - t)\,, \qquad \text{откуда} \qquad p = \rho_0T_0\frac{R}{\mu}(t - t^2). \qquad (5)

Исследуем на максимум выражение (5). Это квадратный многочлен относительно $t$ , представляющий из себя уравнение параболы, ветви которой направлены вниз, и его значение достигает максимума в вершине параболы, то есть при $t = 1/2$ . Отсюда находим максимальное давление:

p_{\max} = \frac{1}{4}\frac{R}{\mu}\rho_0T_0. \qquad (6)

С учётом (6) уравнение (5) принимает вид:

\frac{p}{p_{\max}} = 4(t - t^2).

В задаче требуется найти условия, когда $p/p_{\max} = 3/4$ . Решая уравнение, находим, что $T/T_0 = 1/2 \pm 1/4$ . Таким образом, условию задачи удовлетворяют два значения температуры:

T_1 = \frac{1}{4}T_0 \qquad \text{и} \qquad T_2 = \frac{3}{4}T_0.

Примерные критерии оценивания

Записано уравнение Менделеева-Клапейрона — 1
Записано уравнение изображённого процесса — 2
Найдена зависимость $p(T)$ — 2
Найдено выражение для $p_{\max}$ — 2
Записано квадратное уравнение относительно $(T/T_0)$ — 1
Решено квадратное уравнение — 2

Оригинал в Архива: region10T.pdf