Съдържание

ВсОШ 2010, Регионален етап, 9–11 клас — Задача 11.1. · Груз на горке

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2010

XLIV Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Теоретический тур. 9, 10 и 11 классы. Методическое пособие. МФТИ, 2009/2010 уч.г.

Условие

Слева направо по гладкой плоскости скользит тяжёлая горка массы $M$ , на вершине которой покоится лёгкий груз массы $m$ (рис. 8). Кинетическая энергия $\mathrm{K}_1$ груза в четыре раза меньше его потенциальной энергии $\Pi$ . Груз съезжает с горки без трения. Найдите его кинетическую энергию $\mathrm{K}_2$ , когда он окажется на плоскости. Считайте, что $\Pi = 1$ Дж, а $M \gg m$ .

Горка массы M с плоской вершиной слева и плавным спуском вправо на горизонтальной поверхности; на вершине груз m; стрелка g вниз. — Рис. 8

Отговори

Решение

Пусть скорость системы в начальном состоянии $v_0$ , высота горки $H$ . Запишем закон сохранения энергии и закон сохранения импульса для системы груз–горка:

mgH + (m + M)\frac{v_0^2}{2} = M\frac{v_1^2}{2} + m\frac{v_2^2}{2}, \qquad (7)

(m + M)v_0 = Mv_1 + mv_2, \qquad (8)

где $v_1$ — скорость горки после соскальзывания груза, $v_2$ — скорость соскользнувшего груза.

Поскольку нас не интересует конечная скорость горки, то исключим из уравнений (7) и (8) скорость $v_1$ , в результате чего получим:

v_2^2 - 2v_0v_2 + v_0^2 - 2gH\left(\frac{M}{m + M}\right) = 0.

Так как по условию задачи $v_2 > v_0$ , то запишем:

v_2 = v_0 + \sqrt{2gH\left(\frac{M}{m + M}\right)}. \qquad (9)

Теперь учтём, что $m \ll M$ . В этом случае уравнение (9) упростится:

v_2 = v_0 + \sqrt{2gH}.

Кинетическая энергия груза, съехавшего с горки, равна:

\mathrm{K}_2 = \frac{mv_2^2}{2} = \frac{mv_0^2}{2} + mgH + mv_0\sqrt{2gH}. \qquad (10)

По условию $\Pi = 4\mathrm{K}_1$ , откуда следует, что:

v_0 = \sqrt{\frac{gH}{2}}. \qquad (11)

После подстановки (11) в (10) окончательно имеем:

\mathrm{K}_2 = \mathrm{K}_1 + \Pi + mgH = 2{,}25\Pi = 2{,}25\ \text{Дж}.

Примерные критерии оценивания

Записан закон сохранения энергии — 1
Записан закон сохранения импульса — 1
Решена полученная из них система уравнений — 3
Учтено, что $m \ll M$ — 1
Найдена скорость $v_2$ — 1
Получено выражение для $\mathrm{K}_2$ — 2
Получен численный ответ — 1

Оригинал в Архива: region10T.pdf