ВсОШ 2010, Регионален етап, 9–11 клас — Задача 11.2. · Нарушение равновесия

• H = 5 м; μ = 0,2 кг/с.

Согласно правилу моментов относительно полюса $A$ правый край доски оторвётся от опоры $B$ в момент, когда сила, действующая на левый край доски, станет равной:

Эта сила складывается из двух составляющих — статической и динамической.

Пока песок летит, он не действует на доску. Время его падения от заслонки бункера до доски равно $\tau = \sqrt{2H/g}$. Зато потом на доску начинает действовать постоянная динамическая составляющая силы:

где $v = \sqrt{2gH}$ — скорость песка перед падением на доску, $\mu_i$ — массовый расход песка в $i$-м опыте.

В то же время постепенно начинает расти статическая составляющая силы:

возникающая за счёт увеличения массы песка на доске. Поэтому в момент времени $t > \tau$ суммарная сила, действующая на доску со стороны песка, равна:

причём время $t$ отсчитывается от момента открытия заслонки бункера.

Теперь рассмотрим результаты эксперимента. Так как в первых двух опытах время не зависит от расхода песка, то $\tau_1 = \tau = \sqrt{2H/g}$, откуда высота падения песка:

Уменьшение массового расхода в 4 раза приводит к тому, что динамической составляющей уже не хватает для начала опрокидывания доски. Тогда, используя (13) и (12), находим массовый расход песка в первом эксперименте:

Примерные критерии оценивания

• Из правила моментов найдено условие отрыва доски — 2
• Записана связь между $H$ и $\tau$ — 1
• Рассмотрены динамическая и статическая силы давления песка — 2
• Найдена высота $H$ — 1
• Показано, что $F_{\text{д}} + F_{\text{с}} = \mu_igt$ — 2
• Получено выражение для $\mu$ — 1
• Найдено численное значение $\mu$ — 1