ВсОШ 2010, Регионален етап, 9–11 клас — Задача 11.3. · Цепь с конденсатором

• $Q = \frac{C\mathscr{E}^2}{8}\left(\frac{R}{R + r}\right)^2$

Энергия, запасённая в конденсаторе, $W = q^2/(2C)$, где $q$ — заряд на обкладках конденсатора, а $C$ — ёмкость конденсатора.

Дифференцируя выражение для энергии по времени, получим:

Запишем второе правило Кирхгофа для контура $ABCD$ (рис. 23), обозначая через $I$ силу тока, текущего через резистор $r$:

Применяя второе правило для контура $ABEF$, получим:

где учтено, что сила тока, текущего через резистор $R$, равна $I_R = I - I_C$. Подставим в (15) выражение из (14). Тогда:

Исследуем на максимум произведение $U\,dq/dt = U(\mathscr{E}/r) - U^2(R + r)/(Rr)$. Это квадратный многочлен, представляющий из себя уравнение параболы, ветви которой направлены вниз. Его значение достигает максимума в вершине параболы, то есть при:

Такое же напряжение будет на конденсаторе в момент размыкания ключа. Тогда количество теплоты, выделившееся в цепи после размыкания ключа, равно:

Примерные критерии оценивания

• Найдено выражение для $\Delta W/\Delta t$ через $U$ и $I_C$ — 1
• Определено значение $I$ — 2
• Записано второе правило Кирхгофа для контура $ABEF$ — 1
• Получен квадратный многочлен для $\Delta W/\Delta t$ — 2
• Квадратный многочлен исследован на максимум — 2
• Найдено выделившееся количество теплоты — 2