Съдържание

ВсОШ 2010, Регионален етап, 9–11 клас — Задача 11.4. · Призма на воде

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2010

XLIV Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Теоретический тур. 9, 10 и 11 классы. Методическое пособие. МФТИ, 2009/2010 уч.г.

Условие

Поверхности воды касается равнобедренная стеклянная призма $ABC$ (рис. 11). Луч света, падающий из воздуха под углом $\varphi_0$ на грань $AC$ , после прохождения призмы выходит через грань $AB$ под тем же углом $\varphi_0$ . Чему равен угол преломления $\varphi_1$ ?

Показатель преломления воды $n_0 = 4/3$ , угол $C$ при вершине призмы — прямой. Величина угла $\varphi_0$ неизвестна.

Отговори

Решение

Пусть показатель преломления стекла равен $n$ . Выполним рисунок, поясняющий ход луча (рис. 24). Запишем закон Снелла для луча, преломляющегося на гранях $AC$ и $AB$ :

\text{для грани } AC: \quad \sin\varphi_0 = n\sin\varphi_1; \qquad (16)

\text{для грани } AB: \quad n_0\sin\varphi_0 = n\sin\varphi_2. \qquad (17)

Разделим почленно уравнение (17) на уравнение (16):

n_0 = \frac{\sin\varphi_2}{\sin\varphi_1}.

Так как призма равнобедренная и прямоугольная, то угол $\alpha = 45^{\circ}$ . Для треугольника $DEF$ угол $\alpha_1$ — внешний. По теореме о внешнем угле треугольника:

\varphi_1 + \varphi_2 = \alpha_1.

Заметим, что углы $\alpha$ и $\alpha_1$ равны как углы со взаимно перпендикулярными сторонами. С учётом двух последних соотношений получим:

n_0 = \frac{\sin(\alpha - \varphi_1)}{\sin\varphi_1} = \frac{\cos\varphi_1 - \sin\varphi_1}{\sqrt{2}\sin\varphi_1} = \frac{1 - \mathrm{tg}\,\varphi_1}{\sqrt{2}\,\mathrm{tg}\,\varphi_1}.

Подставив в уравнение значение $n_0$ , окончательно получим:

\mathrm{tg}\,\varphi_1 = \frac{3}{4\sqrt{2} + 3} \approx 0{,}347,

откуда следует, что $\varphi_1 \approx 19{,}1^{\circ}$ .

Примерные критерии оценивания

Записан закон Снелла для границы $AC$ — 2
Записан закон Снелла для границы $AB$ — 2
Выражен показатель $n_0$ через $\varphi_1$ и $\varphi_2$ — 1
Найдена связь между $\varphi_1$ и $\varphi_2$ — 1
Показатель преломления $n_0$ выражен через $\varphi_1$ — 2
Найден угол $\varphi_1$ — 2

Треугольник ABC с прямым углом C; луч падает в точке D на грань AC под углом φ₀, преломляется под углом φ₁, доходит до точки E на AB под углом φ₂ и выходит под углом φ₀; вспомогательные нормали, точка F, угол α при A и угол α₁; показатель преломления n. — Рис. 24

Равнобедренная прямоугольная призма ABC с основанием AB на поверхности воды; луч падает на грань AC под углом φ₀ к нормали, преломляется под углом φ₁ и выходит в воду через грань AB под углом φ₀. — Рис. 11

Оригинал в Архива: region10T.pdf