Съдържание

ВсОШ 2010, Регионален етап, 9–11 клас — Задача 10.1. · «Абсолютно» упругий удар

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2010

XLIV Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Теоретический тур. 9, 10 и 11 классы. Методическое пособие. МФТИ, 2009/2010 уч.г.

Условие

Доска массы $M$ и длины $L$ скользит с некоторой скоростью $v_0$ по гладкой горизонтальной поверхности. На левом краю доски лежит кубик массы $m$ . Коэффициент трения скольжения между кубиком и доской равен $\mu$ .

Доска испытывает абсолютно упругий удар о вертикальную стенку (рис. 3). При какой максимальной скорости $v_0 = v_{\max}$ доски кубик с неё не упадёт? Размерами кубика по сравнению с $L$ пренебречь. В процессе всего движения кубик не опрокидывается.

Доска M длины L на горизонтальной поверхности движется со скоростью v₀ к вертикальной стенке справа; на левом краю доски кубик m, коэффициент трения μ; стрелка g вниз. — Рис. 3

Отговори

Решение

Сразу после удара о стенку доска изменит направление движения на противоположное, а кубик продолжит движение к стенке. Сила трения скольжения вызовет изменение как скорости кубика, так и скорости доски. Уравнение движения для кубика и доски:

v_{\text{к}} = -v_0 + \mu gt,

Ma_{\text{д}} = F_{\text{тр}} = \mu mg, \qquad \text{откуда} \qquad a_{\text{д}} = \mu gm/M.

Следовательно, скорость доски $v_{\text{д}} = v_0 - \mu gtm/M$ .

Проскальзывание прекратится после того, как скорости доски и кубика сравняются (рис. 16):

v_0 - \mu g\frac{m}{M}t_{\text{к}} = -v_0 + \mu gt_{\text{к}}, \qquad \text{откуда} \qquad t_{\text{к}} = \frac{2v_0}{\mu g}\frac{M}{(M + m)}.

Максимальное перемещение кубика относительно доски равно $L$ . Из рисунка видно, что оно численно равно площади заштрихованного треугольника:

L = \frac{1}{2}\cdot 2v_0\cdot t_{\text{к}},

то есть максимальная скорость, при которой кубик не упадёт с доски:

v_{\max} = \sqrt{\frac{\mu gL}{2}\left(1 + \frac{m}{M}\right)}.

Примерные критерии оценивания

Найдено выражение для $v_{\text{к}}$ — 1
Найдено выражение для $v_{\text{д}}$ — 2
Записано условие прекращения относительного проскальзывания — 1
Найдено время скольжения — 1
Найдена связь $L$ с $v_0$ и $t_{\text{к}}$ — 3
Найдена скорость $v_{\max}$ — 2

График скорости v от времени t: прямая доски убывает от v₀, прямая кубика растёт от −v₀; они сходятся в момент t_к, после чего скорость постоянна; треугольник между прямыми заштрихован вертикальными линиями. — Рис. 16

Оригинал в Архива: region10T.pdf