Съдържание

ВсОШ 2011, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 1. Спуск по желобу

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2011

XLV Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур

Комплект задач

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников

Условие

Небольшое тело отпустили без начальной скорости в некоторой точке $M$ гладкого изогнутого желоба. Оторвавшись от желоба в точке $O$ , оно упало на пол в точке $A$ (рис. 1). С помощью построений и расчётов, покажите на рисунке положение точки $M$ желоба, в которой тело было отпущено. Каково расстояние (в условных единицах) от пола до точки $M$ ?

Масштабы по осям рисунка даны в некоторых условных единицах.

Миллиметровая сетка с осями от 0 до 7 по вертикали и от 0 до 8 по горизонтали; изогнутый желоб спускается от верхнего левого угла и заканчивается в точке O на высоте 2,5 над отметкой 4; на полу отмечена точка A (отметка 7); справа стрелка вниз с подписью g. — Рис. 1

Отговори

Решение

Тот же график желоба на миллиметровой сетке с построением: касательная в точке O продолжена до точки B над точкой A, горизонталь через O до точки C; отмечены отрезки l и h, точка M на желобе на высоте 5,3, стрелки с подписями L = 5,3 и H = 2,8. — Рис. 16

Проведём касательную в нижней точке желоба $O$ , а также горизонтальную линию через ту же точку. Из точки $A$ проведём вертикальную линию, пересекающую касательную в точке $B$ и горизонтальную линию — в точке $C$ (рис. 16).

Движение тела по вертикали после отрыва от желоба описывается уравнением

y = v_{oy}t + \frac{gt^2}{2},

где $v_{oy}$ — проекция скорости тела на вертикальную ось в момент отрыва от желоба, начало координат находится в точке $O$ , ось $Y$ направлена вниз.

На рисунке отрезок $CB$ равен расстоянию, которое тело прошло бы по вертикали за время падения $t_0$ , если бы не было ускорения свободного падения, а отрезок $BA$ равен расстоянию, которое тело пролетело бы за то же время $t_0$ при свободном падении без начальной скорости. Кроме того, отрезок $OB$ равен пути, которое тело, двигаясь с постоянной скоростью $v_0$ , прошло бы за время $t_0$ . Таким образом,

AB = h = \frac{gt_0^2}{2};\quad OB = l = v_0t_0.

Исключив из этих соотношений время падения $t_0$ , получим:

v_0^2 = \frac{gl^2}{2h}.

Высоту $H$ начальной точки над точкой $O$ найдём из закона сохранения энергии:

\frac{mv_0^2}{2} = mgH.

Отсюда:

H = \frac{l^2}{4h}.

По рисунку находим:

h = 1,\quad l^2 = (CB)^2 + (OC)^2 = (1{,}5)^2 + (3)^2 = 11{,}25;

H = \frac{11{,}25}{4} \approx 2{,}8.

Расстояние от точки $M$ до пола равно $L = 5{,}3$ условных единиц.

Критерии оценивания

Записан закон движения тела после отрыва от желоба … 2

Проведена касательная в т. $O$ и найдена точка пересечения этой касательной с вертикальной прямой, проходящей через т. $A$ … 2

Определены с помощью рисунка величины $gt_0^2/2$ и $v_0t_0$ в отн. единицах … 2

Записан закон сохранения энергии … 1

Найдено значение $H$ в отн. единицах … 1

На рисунке указана точка, в которой было отпущено тело … 1

Найдено расстояние $L$ … 1

Оригинал в Архива: finalT11.pdf