Съдържание

ВсОШ 2011, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 10. Перезарядка конденсаторов

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2011

XLV Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур

Комплект задач

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников

Условие

Имеются два заряженных конденсатора с ёмкостями $C_1 = 18$ мкФ и С $_2 = 19$ мкФ. Напряжения на конденсаторах равны соответственно $U_1 = 76$ В и $U_2 = 190$ В. Третий конденсатор с неизвестной ёмкостью $C$ подсоединён к конденсатору $C_2$ (рис. 10). Ключ $K$ перекидывают из правого положения в левое, а после перезарядки конденсаторов возвращают в исходное положение.

Схема: конденсаторы C1 (U1) слева и C2 (U2) справа; посередине конденсатор C последовательно с резистором R, подключаемый ключом K то к левому, то к правому конденсатору. — Рис. 10

Известно, что после выполнения 44 таких циклов разность напряжений $(U_2 - U_1)_{44}$ составила $1\%$ от первоначальной $(U_2 - U_1)_0$ .

1. Чему равна ёмкость конденсатора $C$ ?

2. Какое напряжение $U_\infty$ установится на конденсаторах после большого числа циклов?

3. Какая тепловая энергия выделится на резисторе $R$ после большого числа циклов?

Отговори

Решение

Рассмотрим процессы перезарядки конденсаторов в первом цикле.

C_1U_1 + CU_2 = (C_1 + C)\,U_1';\qquad U_1' = \frac{C_1U_1 + CU_2}{C_1 + C}.

C_2U_2 + CU_1' = (C_2 + C)\,U_2';

U_2' = \frac{C_2U_2 + C\dfrac{C_1U_1 + CU_2}{C_1 + C}}{C_2 + C} = \frac{C_2C_1U_2 + CC_2U_2 + C_1CU_1 + C^2U_2}{(C_1 + C)\,(C_2 + C)}.

\Delta U' = U_2' - U_1' =

= \frac{C_1C_2U_2 + CC_2U_2 + CC_1U_1 + C^2U_2 - C_1C_2U_1 - CC_2U_2 - CC_1U_1 - C^2U_2}{(C_1 + C)\,(C_2 + C)} =

= \frac{C_1C_2}{(C_1 + C)\,(C_2 + C)}\,(U_2 - U_1);

\frac{\Delta U'}{(\Delta U)_0} = \frac{C_1C_2}{(C_1 + C)\,(C_2 + C)} = A < 1

Таким образом, после каждого цикла разность напряжений на конденсаторах уменьшается в $\left(\frac{1}{A}\right)$ раз. После $n$ циклов разность напряжений уменьшится в $\left(\frac{1}{A}\right)^n$ раз. По условию задачи

\left(\frac{1}{A}\right)^{44} = 100 \Rightarrow \frac{1}{A} = \left(1 + \frac{C}{C_1}\right)\left(1 + \frac{C}{C_2}\right) = \sqrt[44]{100} \approx 1{,}11.

Как видим, должны выполняться неравенства: $C \ll C_1$ , $C \ll C_2$ . Пренебрегая членами второго порядка малости относительно $C/C_1$ и $C/C_2$ , можем записать:

\frac{1}{A} - 1 \approx C\cdot\left(\frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}\right) = 0{,}11.

Подставляя значения величин $C_1$ и $C_2$ , получим:

C = 1\ \text{мкФ}.

После большого числа циклов напряжения на всех конденсаторах окажутся одинаковыми ( $U_\infty$ ) и их можно соединить параллельно. При этом заряд батареи конденсаторов равен первоначальному заряду конденсаторов:

C_1U_1 + C_2U_2 + CU_2 = (C_1 + C_2 + C)\,U_\infty,

U_\infty = \frac{C_1U_1 + C_2U_2 + CU_2}{C_1 + C_2 + C} = \frac{9U_1 + 10U_2}{19} = 136\ \text{В}.

$(W_{\text{э}})_0 = \frac{C_1U_1^2}{2} + \frac{(C_2 + C)\,U_2^2}{2} = \frac{18\cdot(76)^2}{2}\cdot 10^{-6} + \frac{20\cdot(190)^2}{2}\cdot 10^{-6} = 0{,}413$ Дж.

(W_{\text{э}})_\infty = \frac{(C_1 + C_2 + C)\,U_\infty^2}{2} = \frac{38\cdot(136)^2}{2}\cdot 10^{-6} = 0{,}351\ \text{Дж}.

На резисторе выделится тепловая энергия $Q = \Delta W_{\text{э}}$ .

Q = \Delta W_{\text{э}} = (W_{\text{э}})_0 - (W_{\text{э}})_\infty = 0{,}062\text{Дж}.

Критерии оценивания

Записано выражение для $U_1'$ … 1

Записано выражение для $U_2'$ … 1

Получено выражение, связывающее $\Delta U'$ с $\Delta U$ … 2

Определена ёмкость конденсатора $C$ … 2

Записан закон сохранения заряда для установившегося напряжения … 2

Найдено установившееся напряжение … 1

Определена тепловая энергия, выделившаяся на резисторе $R$ … 1

Оригинал в Архива: finalT11.pdf