Съдържание

ВсОШ 2011, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 11. Трифилярный маятник

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2011

XLV Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур

Комплект задач

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников

Условие

Массивное кольцо подвешено на трёх тонких вертикальных нитях длиной $L$ (рис. 11).

1. Определите период малых крутильных колебаний кольца относительно оси $OO'$ .

2. Насколько изменится период крутильных колебаний, если в центре кольца (точка $O$ ) при помощи лёгких спиц расположить тело малых размеров (материальную точку), масса которого равна массе кольца?

Заштрихованный верхний диск с центром на оси O′, к которому на трёх вертикальных нитях подвешено массивное кольцо с центром O; вертикальная ось OO′. — Рис. 11

Указание: При $\alpha \ll 1$ можно использовать приближённое выражение

\cos\alpha \approx 1 - \alpha^2/2.

Отговори

Решение

Повернём кольцо относительно оси $OO'$ на малый угол $\varphi$ (рис. 22). Тогда все нити отклонятся на некоторый малый угол $\alpha$ . Из рисунка следует:

L\cdot\alpha = R\cdot\varphi,\ \text{где}\ R\ \text{— радиус кольца.}

При этом кольцо поднимется на

x = L(1 - \cos\alpha) \approx L\frac{\alpha^2}{2} = \frac{R^2}{2L}\varphi^2.

Допустим, что в этом положении все точки кольца имеют скорость $v = R\dot{\varphi}$ . Тогда полная энергия кольца запишется в виде

E = Mgx + \frac{Mv^2}{2} = M\left(\frac{R^2g}{2L}\varphi^2 + \frac{R^2\dot{\varphi}^2}{2}\right). \qquad (28)

Трифилярный подвес в перспективе: заштрихованный верхний диск с центром O′, кольцо с центром O, нити отклонены от вертикали на угол α после поворота кольца на угол φ (стрелка поворота внизу). — Рис. 22

При колебаниях без трения полная энергия сохраняется. Продифференцировав (28) по времени, получим:

\ddot{\varphi} + \frac{g}{L}\cdot\varphi = 0.

Это уравнение свободных колебаний. По аналогии с математическим маятником можно записать $\omega_0 = \sqrt{g/L}$ — эта формула в точности совпадает с выражением для круговой частоты математического маятника длины $L$ .

Окончательно находим:

T = \frac{2\pi}{\omega_0} = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}.

При наличии точечной массы в центре кольца выражение для кинетической энергии системы не изменяется, а в выражение для потенциальной энергии должна теперь входить сумма масс $(M + m)$ . Уравнение для крутильных колебаний примет вид:

\ddot{\varphi} + \frac{(M + m)}{m}\frac{g}{L}\cdot\varphi = 0,\qquad \text{следовательно}\qquad \omega_0' = \sqrt{\frac{(M + m)}{M}\frac{g}{L}}.

При $m = M$ частота колебаний возрастёт в $\sqrt{2}$ раз, и, соответственно, период уменьшится в том же отношении.

Критерии оценивания

Записано соотношение между углом поворота кольца $\varphi$ и углом отклонения нитей $\alpha$ от вертикали … 1

Записано соотношение между высотой $x$ подъёма кольца и углом $\varphi$ его поворота … 1

Записан закон сохранения энергии … 2

Получено дифференциальное уравнение малых колебаний кольца … 2

Найден период малых колебаний кольца … 1

Указано, каким образом изменяются уравнения движения при добавлении точечной массы в центр кольца … 1

Найдена циклическая частота колебаний для этого случая … 1

Определено, во сколько раз изменился период колебаний … 1

Оригинал в Архива: finalT11.pdf