Съдържание

ВсОШ 2012, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 9.1. Поплавок в ракете

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2012

XLVI Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Методическое пособие

Авторы задач

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников
Телефоны: (495) 408-80-77, 408-86-95.
E-mail: physolymp@gmail.com

Авторы задач

9 класс	10 класс	11 класс
1. Замятнин М.	1. Аполонский А.	1. Атауллин В.
2. Кармазин С.	2. Воробьёв И.	2. Аполонский А.
3. Кобякин А.	3. Кармазин С.	3. Проскурин М.
4. Слободянин В.	4. Воробьёв И.	4. Слободянин В.
5. Слободянин В.	5. Аполонский А.	5. Ерофеев И., Осин М.

Общая редакция — Ко́зел С., Слободянин В.

Оформление и вёрстка — Паринов Д., Цыбров Ф.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε.
© Авторский коллектив
Подписано в печать 17 апреля 2012 г. в 10:46.

141700, Московская область, г. Долгопрудный
Московский физико-технический институт

Условие

В ракете, готовой к старту, находится большой аквариум, частично заполненный водой плотностью $\rho_0$ . Внутрь аквариума помещен тонкий цилиндрический поплавок плотностью $\rho$ с поперечным сечением $S$ , прикреплённый ко дну лёгкой пружиной жесткостью $k$ . Перед стартом ракеты пружина растянута на $x_0$ , а поплавок частично выступает из воды.

1. Определите, увеличится или уменьшится высота выступающей части поплавка, если система придёт в движение с постоянным ускорением, направленным вверх. Ответ обоснуйте.

2. При достижении ракетой ускорения $a$ высота выступающей над водой части поплавка изменилась на $x$ . Найдите аналитическую зависимость $x$ от $a$ .

3. Рассчитайте численное значение $x$ для следующих параметров задачи: $k = 10\ \text{Н/м}$ , $x_0 = 1\ \text{см}$ , $\rho_0 = 1000\ \text{кг/м}^3$ , $S = 10^{-4}\ \text{м}^2$ , $g = 10\ \text{м/с}^2$ , $a = 3g$ .

Отговори

Решение

Сила Архимеда зависит от ускорения системы. Действительно, если мысленно заменить водой погруженную в воду часть тела и записать для неё второй закон Ньютона, то получится $V_{\text{погр}}\rho_0\, a = F_A - V_{\text{погр}}\rho_0 g$ , где $F_A$ — сила, действующая со стороны окружающей жидкости на погружённый объём, откуда

F_A = V_{\text{погр}}\rho_0(g + a).

Условие равновесия поплавка в неподвижной ракете

0 = (V - zS)\rho_0 g - V\rho g - kx_0, \qquad (1)

где $V$ — объём поплавка, $z$ — высота выступающей над поверхностью воды части.

Предположим, что при ускоренном движении глубина погружения поплавка не изменилась, тогда второй закон Ньютона для поплавка примет вид:

V\rho a = (V - zS)\rho_0(g + a) - V\rho g - kx_0. \qquad (2)

Сравнивая (2) с (1), видим, что последнее равенство возможно лишь при отсутствии ускорения или при увеличении $x_0$ . Значит, предположение неверно, поплавок всплывёт.

Пусть искомое изменение глубины равно $x$ . Запишем второй закон Ньютона для поплавка в проекции на вертикальную ось при ускоренном движении:

V\rho a = (V - zS - xS)\rho_0(g + a) - V\rho g - k(x_0 + x). \qquad (3)

Подставив выражение для $(V - zS)$ из уравнения (1) в уравнение (3), получим

kx_0 a = kxg + \rho_0(g + a)xSg.

Окончательно,

x = x_0\frac{ka}{(k + \rho_0 S(g + a))g}.

При ускорении $a = 3g$ найдём

x = 2{,}14\ \text{см}.

Оригинал в Архива: finalT12.pdf