Съдържание

ВсОШ 2013, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 4 (9 кл.). 9 класс — Задача 4

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2013

Олимпиада Максвелла и XLVII Всероссийская олимпиада школьников по физике — Региональный этап. Теоретический тур · 10 т.

Издание и авторы — 7–8 классы

Олимпиада Максвелла. Региональный этап. Теоретический тур. Методическое пособие. МФТИ, 2012/2013 уч. г.

Методическая комиссия по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников. Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников. Телефоны: (495) 408-80-77, 408-86-95. E-mail: physolymp@gmail.com.

Авторы задач:

Класс	Задача 1	Задача 2	Задача 3	Задача 4
7	Фольклор	Слободсков И.	Слободянин В.	Замятнин М.
8	Замятнин М.	Фольклор	Колесов Ю.	Воронов А.

Общая редакция — Козел С., Слободянин В.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε. © Авторский коллектив. Подписано в печать 20 января 2013 г. в 21:44.

141700, Московская область, г. Долгопрудный. Московский физико-технический институт.

Издание и авторы — 9–11 классы

XLVII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Теоретический тур. Методическое пособие. МФТИ, 2012/2013 уч. г.

Авторы задач:

Класс	Задача 1	Задача 2	Задача 3	Задача 4	Задача 5
9	Кармазин С.	Домарецкий Д.	Бабинцев В.	Савинов Е.	Воробьёв И.
10	Кармазин С.	Замятнин М.	Козел С.	Воробьёв И.	Нгуен Нхат Мин
11	Осин М.	Савинов Е.	Воробьёв И., Баткин В.	Кармазин С.	Щеронов А.

Общая редакция — Козел С., Слободянин В.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε. © Авторский коллектив. Подписано в печать 20 января 2013 г. в 19:37.

141700, Московская область, г. Долгопрудный. Московский физико-технический институт.

Условие

На ровном гладком полу установлены два шеста высоты $H$ с небольшими кольцами наверху. Расстояние между кольцами $d$ (рис. 3), а их плоскости перпендикулярны линии, соединяющей вершины шестов. По полу может перемещаться маленький робот, функция которого — запускать небольшие мячики с фиксированной скоростью $v_0$ под углом $\alpha=45^\circ$ к горизонту. Скорость $v_0$ подобрана так, что $v_0^2>4gH$ . При каком минимальном $d\ne0$ робот может выполнить бросок так, чтобы мячик пролетел сквозь оба кольца? Удар мяча о пол считайте абсолютно упругим. Отдельно рассмотрите случай $gH\ll v_0^2$ .

Решение

Поскольку удары мячика о пол абсолютно упругие, и трение отсутствует, траектория мячика — совокупность частей парабол (рис. 12). Запишем уравнения движения для участка траектории ABCD в проекциях на горизонтальную и вертикальную оси:

\begin{cases}x=(v_0\cos\alpha)t,\\y=(v_0\sin\alpha)t-\dfrac{gt^2}{2}.\end{cases}

Выразив $y$ через $x$ , получим уравнение траектории:

y(x)=x\operatorname{tg}\alpha-\frac{gx^2}{2v_0^2\cos\alpha^2}=x-\frac{gx^2}{v_0^2}.\qquad (2)

Расстояние $d$ будет минимально, если шарик пролетит через кольца либо в точках траектории B и C, либо в точках C и E. Значит, $d$ — это длина меньшего из отрезков BC и CE. Для нахождения $x$ -координат точек B и C, приравняем правую часть уравнения (2) к $H$ . Решив получившееся квадратное уравнение, найдём:

x_{B,C}=\frac{v_0^2}{2g}\left(1\mp\sqrt{1-\beta}\right),\quad\text{где }\beta=\frac{4gH}{v_0^2}<1,

откуда

BC=x_C-x_B=\frac{v_0^2}{g}\sqrt{1-\beta},\quad CE=2x_B=\frac{v_0^2}{g}\left(1-\sqrt{1-\beta}\right).

Случай, когда $BC<CE$ реализуется при $\sqrt{1-\beta}<1/2$ , то есть при $\beta>3/4$ . Если $\beta\leq3/4$ , то $d=CE$ . Окончательный ответ:

d=\begin{cases}=CE=\dfrac{v_0^2}{g}\left(1-\sqrt{1-\dfrac{4gH}{v_0^2}}\right),&\dfrac{gH}{v_0^2}\leq\dfrac3{16};\\[6pt]=BC=\dfrac{v_0^2}{g}\sqrt{1-\dfrac{4gH}{v_0^2}},&\dfrac{gH}{v_0^2}>\dfrac3{16}.\end{cases}

В случае, когда $gH\ll v_0^2$ , то есть $\beta\ll1$

d=\frac{v_0^2}{g}\left(1-\sqrt{1-\beta}\right)=\frac{v_0^2}{g}\left(\frac{1-1+\beta}{1+\sqrt{1-\beta}}\right)\approx\frac{v_0^2}{2g}\beta=2H.

Тот же ответ может быть получен из простых геометрических соображений: следует заменить рассматриваемый участок траектории CDE двумя отрезками прямых (рис. 13).

Критерии оценивания

Критерий	Баллы
В решении присутствует идея, что $d$ — это длина меньшего из отрезков $BC$ и $CE$	1
Получено уравнение траектории	2
Получено выражение для $x_{B,C}$	2
Правильно найдена длина $BC$	1
Правильно найдена длина $CE$	1
Указаны условия реализации соответствующих случаев	1
Любым способом получено $d\approx2H$ при $gH\ll v_0^2$	2

Оригинал в Архива: region13T.pdf