Съдържание

ВсОШ 2013, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 1 (10 кл.). 10 класс — Цилиндр в мерном стакане

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2013

Олимпиада Максвелла и XLVII Всероссийская олимпиада школьников по физике — Региональный этап. Теоретический тур · 10 т.

Издание и авторы — 7–8 классы

Олимпиада Максвелла. Региональный этап. Теоретический тур. Методическое пособие. МФТИ, 2012/2013 уч. г.

Методическая комиссия по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников. Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников. Телефоны: (495) 408-80-77, 408-86-95. E-mail: physolymp@gmail.com.

Авторы задач:

Класс	Задача 1	Задача 2	Задача 3	Задача 4
7	Фольклор	Слободсков И.	Слободянин В.	Замятнин М.
8	Замятнин М.	Фольклор	Колесов Ю.	Воронов А.

Общая редакция — Козел С., Слободянин В.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε. © Авторский коллектив. Подписано в печать 20 января 2013 г. в 21:44.

141700, Московская область, г. Долгопрудный. Московский физико-технический институт.

Издание и авторы — 9–11 классы

XLVII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Теоретический тур. Методическое пособие. МФТИ, 2012/2013 уч. г.

Авторы задач:

Класс	Задача 1	Задача 2	Задача 3	Задача 4	Задача 5
9	Кармазин С.	Домарецкий Д.	Бабинцев В.	Савинов Е.	Воробьёв И.
10	Кармазин С.	Замятнин М.	Козел С.	Воробьёв И.	Нгуен Нхат Мин
11	Осин М.	Савинов Е.	Воробьёв И., Баткин В.	Кармазин С.	Щеронов А.

Общая редакция — Козел С., Слободянин В.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε. © Авторский коллектив. Подписано в печать 20 января 2013 г. в 19:37.

141700, Московская область, г. Долгопрудный. Московский физико-технический институт.

Условие

Деревянный цилиндр (рис. 5) диаметром $d$ плавает в мерном стакане, внутренний диаметр которого $D$ . При этом нижний край цилиндра находится на уровне отметки $V_{0\text{н}}=70\ \text{мл}$ , нанесённой на шкале мерного стакана, а уровень воды в стакане соответствует объёму $V_{0\text{в}}=120\ \text{мл}$ . Если цилиндр плавно погружать в воду тонкой спицей так, чтобы его ось оставалась вертикальной, то уровень воды $V_\text{в}$ в мерном стакане и положение $V_\text{н}$ нижнего края цилиндра будут изменяться. В таблице приведены экспериментальные данные (они, естественно, получены с некоторой, не превышающей 1 мл, погрешностью).

$V_\text{н}$ , мл	70	60	50	40	30	20	10	0
$V_\text{в}$ , мл	120	127	134	140	147	150	150	150

С помощью этих данных определите:

а плотность дерева, из которого изготовлен цилиндр,

б отношение диаметров $D/d$ ,

в объем воды в стакане до погружения в неё деревянного цилиндра.

Решение

Пусть $h_0$ — начальный уровень воды в стакане (в единицах длины), $h_\text{н}$ — уровень нижнего торца цилиндра, $h_\text{в}$ — уровень воды в стакане. (Все уровни отсчитываются от дна стакана). (рис. 14)

Объём воды, вытесненной цилиндром из области ниже $h_0$ , образовал водяную «шайбу» толщиной $(h_\text{в}-h_0)$ с внешним сечением $S_1$ и внутренним сечением $S_2$ .

(h_0-h_\text{н})S_2=(h_\text{в}-h_0)(S_1-S_2).\qquad (3)

Учитывая, что высоты $h_\text{н}$ , $h_0$ , $h_\text{в}$ связаны со значениями объемов, отсчитываемыми по шкале мерного стакана $V_\text{н}$ , $V_0$ , $V_\text{в}$ соотношениями $V_\text{н}=S_1h_\text{н}$ , $V_0=S_1h_0$ , $V_\text{в}=S_1h_\text{в}$ , получаем из (3) зависимость $V_\text{в}(V_\text{н})$ в виде:

V_\text{в}=\frac{S_1}{S_1-S_2}V_0-\frac{S_2}{S_1-S_2}V_\text{н}.\qquad (4)

График этой зависимости, построенный по данным эксперимента, представлен на рис. 15.

Из графика видно, что при $V_\text{в}=150\ \text{мл}$ уровень воды перестаёт изменяться. При этом уровне цилиндр полностью погрузился в воду. Этот момент наступил при $V_\text{н}=25\ \text{мл}$ , то есть высоте цилиндра соответствует $L=150-25=125$ ед. шкалы стакана. Из условия задачи следует, что в начальном состоянии, при свободном плавании цилиндра высоте его погруженной в воду части $L_0$ соответствует $V_{0\text{в}}-V_{0\text{н}}=120-70=50$ ед. шкалы стакана. Отсюда находим плотность дерева:

\rho_\text{д}=\rho_\text{в}\frac{L_0}{L}=400\ \text{кг/м}^3.

Из (4) следует, что угловой коэффициент наклона зависимости $V_\text{в}(V_\text{н})$ равен:

\frac{\Delta V_\text{в}}{\Delta V_\text{н}}=-\frac{S_2}{S_1-S_2}=-\frac{1}{S_1/S_2-1}=-\frac23.

Численное значение взято из графика. Следовательно, $S_1/S_2=2{,}5$ , и $D/d=\sqrt{S_1/S_2}=1{,}58$ .

Объём воды в стакане найдём из графика. Уровень $V_0$ установится в тот момент, когда стержень будет полностью вынут из воды. Из (4) видно, что при $V_\text{н}=V_0$ , $V_\text{в}$ также становится равным $V_0$ . Пунктирный график функции $V_\text{в}=V_\text{н}$ пересекает график зависимости в точке $V_0=100\ \text{мл}$ .

Критерии оценивания

Критерий	Баллы
Установлена аналитическая связь $V_\text{в}(V_\text{н})$	2
Найдена высота цилиндра	2
Найдена плотность дерева	2
Найдено отношение диаметров	2
Найден объём воды в стакане до погружения цилиндра	2

Оригинал в Архива: region13T.pdf