Съдържание

ВсОШ 2013, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 1 (11 кл.). 11 класс — Два блока

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2013

Олимпиада Максвелла и XLVII Всероссийская олимпиада школьников по физике — Региональный этап. Теоретический тур · 10 т.

Издание и авторы — 7–8 классы

Олимпиада Максвелла. Региональный этап. Теоретический тур. Методическое пособие. МФТИ, 2012/2013 уч. г.

Методическая комиссия по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников. Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников. Телефоны: (495) 408-80-77, 408-86-95. E-mail: physolymp@gmail.com.

Авторы задач:

Класс	Задача 1	Задача 2	Задача 3	Задача 4
7	Фольклор	Слободсков И.	Слободянин В.	Замятнин М.
8	Замятнин М.	Фольклор	Колесов Ю.	Воронов А.

Общая редакция — Козел С., Слободянин В.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε. © Авторский коллектив. Подписано в печать 20 января 2013 г. в 21:44.

141700, Московская область, г. Долгопрудный. Московский физико-технический институт.

Издание и авторы — 9–11 классы

XLVII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Теоретический тур. Методическое пособие. МФТИ, 2012/2013 уч. г.

Авторы задач:

Класс	Задача 1	Задача 2	Задача 3	Задача 4	Задача 5
9	Кармазин С.	Домарецкий Д.	Бабинцев В.	Савинов Е.	Воробьёв И.
10	Кармазин С.	Замятнин М.	Козел С.	Воробьёв И.	Нгуен Нхат Мин
11	Осин М.	Савинов Е.	Воробьёв И., Баткин В.	Кармазин С.	Щеронов А.

Общая редакция — Козел С., Слободянин В.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε. © Авторский коллектив. Подписано в печать 20 января 2013 г. в 19:37.

141700, Московская область, г. Долгопрудный. Московский физико-технический институт.

Условие

Два лёгких блока соединены нерастяжимой лёгкой нитью (рис. 8). На краю нижнего блока радиуса $R$ закреплена точечная масса $M$ , соединенная с нитью. К другому концу нити прикреплён груз $m$ , причем $M>m$ .

Найдите период $T$ малых колебаний системы около положения равновесия.

Решение

Угол $\alpha_0$ , соответствующий положению равновесия, определяется из уравнения:

Mg\sin\alpha_0=mg.\qquad (8)

По второму закону Ньютона для груза $m$ (рис. 17):

ma=mg-T.\qquad (9)

По второму закону Ньютона для точечной массы $M$ в проекции на ось Ox:

Ma=T-Mg\sin\alpha.\qquad (10)

Так как нить нерастяжимая, то значения ускорений точечной массы $M$ и груза $m$ совпадают.

Исключая $T$ из уравнений (9) и (10), получим:

(M+m)a=mg-Mg\sin\alpha.\qquad (11)

Масса $M$ закреплена на краю блока, поэтому выполняется соотношение:

a=R\ddot\alpha.

Угол $\alpha$ представим в виде:

\alpha=\alpha_0+\beta,\quad\beta\ll1,

Тогда

\sin\alpha=\sin\alpha_0\cos\beta+\sin\beta\cos\alpha_0\approx\sin\alpha_0+\cos\alpha_0\cdot\beta.\qquad (12)

Подставляя (12) в (11), получим:

(M+m)R\ddot\alpha=-Mg\cos\alpha_0\cdot\beta.

Учитывая, что $\ddot\alpha=\ddot\beta$ , получаем уравнение гармонических колебаний:

\ddot\beta+\omega^2\beta=0,

где $\omega=\sqrt{\dfrac{Mg\cos\alpha_0}{(M+m)R}}$ . Выразим $\cos\alpha_0$ из (8). Окончательно получаем:

T=\frac{2\pi}\omega=2\pi\sqrt{\frac Rg}\cdot\left(\frac{M+m}{M-m}\right)^{1/4}.

Критерии оценивания

Критерий	Баллы
Записано условие равновесия (8)	2
Указано на равенство ускорений грузов	1
Записано уравнение движения (11)	2
Установлена связь линейного и углового ускорений	1
Выполнено разложение (12) по малому параметру	2
Получен окончательный ответ	2

Оригинал в Архива: region13T.pdf