Съдържание

ВсОШ 2013, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 2 (11 кл.). 11 класс — Треугольный цикл

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2013

Олимпиада Максвелла и XLVII Всероссийская олимпиада школьников по физике — Региональный этап. Теоретический тур · 10 т.

Издание и авторы — 7–8 классы

Олимпиада Максвелла. Региональный этап. Теоретический тур. Методическое пособие. МФТИ, 2012/2013 уч. г.

Методическая комиссия по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников. Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников. Телефоны: (495) 408-80-77, 408-86-95. E-mail: physolymp@gmail.com.

Авторы задач:

Класс	Задача 1	Задача 2	Задача 3	Задача 4
7	Фольклор	Слободсков И.	Слободянин В.	Замятнин М.
8	Замятнин М.	Фольклор	Колесов Ю.	Воронов А.

Общая редакция — Козел С., Слободянин В.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε. © Авторский коллектив. Подписано в печать 20 января 2013 г. в 21:44.

141700, Московская область, г. Долгопрудный. Московский физико-технический институт.

Издание и авторы — 9–11 классы

XLVII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Теоретический тур. Методическое пособие. МФТИ, 2012/2013 уч. г.

Авторы задач:

Класс	Задача 1	Задача 2	Задача 3	Задача 4	Задача 5
9	Кармазин С.	Домарецкий Д.	Бабинцев В.	Савинов Е.	Воробьёв И.
10	Кармазин С.	Замятнин М.	Козел С.	Воробьёв И.	Нгуен Нхат Мин
11	Осин М.	Савинов Е.	Воробьёв И., Баткин В.	Кармазин С.	Щеронов А.

Общая редакция — Козел С., Слободянин В.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε. © Авторский коллектив. Подписано в печать 20 января 2013 г. в 19:37.

141700, Московская область, г. Долгопрудный. Московский физико-технический институт.

Условие

Говорят, что в архиве лорда Кельвина нашли рукопись с $(p,V)$ диаграммой, на которой был изображён циклический процесс в виде прямоугольного треугольника ACB. Причем, угол C был прямым, а в точке K, лежащей на середине стороны AB, теплоёмкость многоатомного газа ( $\mathrm{CH}_4$ ) обращалась в ноль. Газ можно считать идеальным. От времени чернила выцвели, и на рисунке остались видны только координатные оси и точки C и K (рис. 9). С помощью циркуля и линейки без делений восстановите положение треугольника ACB. Известно, что в точке A объём был меньше, чем в B.

Решение

Первый способ решения: Теплоёмкость в точке K равна нулю, поэтому адиабата является касательной к прямой AB в точке K. Уравнение адиабаты:

pV^\gamma=\mathrm{const}.

Продифференцируем по объёму $V$ :

p_V^{\prime}V^\gamma+\gamma pV^{\gamma-1}=0.

Угловой коэффициент прямой AB равен:

k=p_V^{\prime}=-\frac{C_p}{C_V}\frac{p_K}{V_K}=-\gamma\frac{p_K}{V_K}.

Второй способ решения: Рассмотрим процесс, описываемый прямой, проходящей через точку K. При небольшом изменении объёма $\Delta V$ газ получит теплоту:

Q=\Delta U+p_K\Delta V.

Используя уравнение состояния идеального газа, свяжем изменение температуры $\Delta T$ с изменениями давления $\Delta p$ и объёма $\Delta V$ :

p_K\Delta V+V_K\Delta p=\nu R\Delta T.

Отсюда получим выражение для теплоты:

Q=(C_p/R)p_K\Delta V+(C_V/R)V_K\Delta p,

которая равна нулю, так как теплоёмкость остаётся равной нулю в течение всего малого процесса. Прямая AB, проходящая через K, имеет наклон:

k=\frac{\Delta p}{\Delta V}=-\frac{C_p}{C_V}\frac{p_K}{V_K}=-\gamma\frac{p_K}{V_K},

для многоатомного газа $\gamma=4/3$ .

Общая часть:

Уравнение прямой AB:

p=p_K-\gamma\frac{p_K}{V_K}(V-V_K).

Удобно построить эту прямую, найдя значение объёма $V_1$ при нулевом давлении:

V_1=7V_K/4.

Из точки K построим перпендикуляр KE к оси $V$ . Точке E соответствует значение объёма $V_K$ . Разделив отрезок OE пополам, и его левую часть ещё пополам, найдём отрезок DE равный $3V_K/4$ (рис. 18). На оси $V$ от точки E отложим отрезок EF, равный DE. По построению OF = $V_1$ . Проведём прямую через F и K, на которой находятся точки A и B. Треугольник ACB прямоугольный, поэтому CK=CB=CA. Проведём окружность радиуса CK с центром в точке K. Точки A и B лежат на прямой KF.

Критерии оценивания

Первый способ:

Критерий	Баллы
Указано, что адиабата касается прямой AB	2
Найден угловой коэффициент наклона $k$	3

Второй способ:

Критерий	Баллы
Записано первое начало термодинамики	1
Приведена связь изменений температуры, давления, объёма	2
Найден угловой коэффициент наклона $k$	2

Общая часть:

Критерий	Баллы
Учтено, что для многоатомного газа $C_V=3R$ ( $\gamma=4/3$ )	1
Записано уравнение прямой AB	1
Приведено построение прямой AB	2
Найдены точки A и B	1

Оригинал в Архива: region13T.pdf