Съдържание

ВсОШ 2013, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 3 (11 кл.). 11 класс — Перевороты

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2013

Олимпиада Максвелла и XLVII Всероссийская олимпиада школьников по физике — Региональный этап. Теоретический тур · 10 т.

Издание и авторы — 7–8 классы

Олимпиада Максвелла. Региональный этап. Теоретический тур. Методическое пособие. МФТИ, 2012/2013 уч. г.

Методическая комиссия по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников. Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников. Телефоны: (495) 408-80-77, 408-86-95. E-mail: physolymp@gmail.com.

Авторы задач:

Класс	Задача 1	Задача 2	Задача 3	Задача 4
7	Фольклор	Слободсков И.	Слободянин В.	Замятнин М.
8	Замятнин М.	Фольклор	Колесов Ю.	Воронов А.

Общая редакция — Козел С., Слободянин В.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε. © Авторский коллектив. Подписано в печать 20 января 2013 г. в 21:44.

141700, Московская область, г. Долгопрудный. Московский физико-технический институт.

Издание и авторы — 9–11 классы

XLVII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Теоретический тур. Методическое пособие. МФТИ, 2012/2013 уч. г.

Авторы задач:

Класс	Задача 1	Задача 2	Задача 3	Задача 4	Задача 5
9	Кармазин С.	Домарецкий Д.	Бабинцев В.	Савинов Е.	Воробьёв И.
10	Кармазин С.	Замятнин М.	Козел С.	Воробьёв И.	Нгуен Нхат Мин
11	Осин М.	Савинов Е.	Воробьёв И., Баткин В.	Кармазин С.	Щеронов А.

Общая редакция — Козел С., Слободянин В.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε. © Авторский коллектив. Подписано в печать 20 января 2013 г. в 19:37.

141700, Московская область, г. Долгопрудный. Московский физико-технический институт.

Условие

В вертикальном цилиндре сечения $S$ тяжелый поршень массы $m$ лежит на шероховатом дне при открытых отверстиях в верхнем и нижнем торцах, так, что в цилиндре находится $\nu_0$ моль воздуха. Отверстия закрывают и переворачивают цилиндр. После этого открывают отверстие в верхнем торце и дожидаются установления равновесия. Затем отверстие закрывают и ещё раз переворачивают цилиндр. Снова открывают верхнее отверстие, дожидаются установления равновесия и так далее.

Определите максимальное количество воздуха, оказавшееся в цилиндре. Какое количество воздуха $\nu$ окажется в цилиндре после многократного повторения процедуры переворачивания?

Атмосферное давление $p_0$ , температура постоянна, трение между поршнем и цилиндром отсутствует. Ускорение свободного падения $g$ .

Решение

Исходное количество воздуха в цилиндре

\nu_0=\frac{p_0Sh_0}{RT}.

Уравнение состояния идеального газа, расположенного над поршнем после $n$ переворотов:

p_0Sh_n=\nu_nRT,\qquad (13)

где $h_n$ — расстояние от верхнего торца до поршня после $n$ -го переворота, $\nu_n$ — количество газа.

После $n+1$ переворота это же количество воздуха окажется внизу под поршнем:

(p_0+\Delta p)S(h_0-h_{n+1})=\nu_nRT,\qquad (14)

где $\Delta p=mg/S$ .

Разделив (14) на (13), получим

(p_0+\Delta p)(h_0-h_{n+1})=p_0h_n.

Отсюда выражаем $h_{n+1}$ через $h_n$ :

h_{n+1}=h_0-\frac{p_0}{p_0+\Delta p}h_n.\qquad (15)

Ответим на первый вопрос. После первого переворота количество воздуха под поршнем будет равно $\nu_0$ . Найдём $h_1$ из (15), положив $n=0$ .

h_1=h_0\frac{\Delta p}{p_0+\Delta p}.

Количество воздуха над поршнем

\nu_1=\frac{p_0Sh_1}{RT}.

При этом количество воздуха в цилиндре будет равно

\nu_{0,1}=\nu_0+\nu_1=\nu_0\frac{p_0+2\Delta p}{p_0+\Delta p}.

Это количество будет максимальным, так как под поршнем воздуха $\nu_0$ , и при последующих переворотах его всегда будет меньше. А над поршнем давление воздуха $p_0$ , и, следовательно, максимальное количество воздуха в цилиндре равно $\nu_{0,1}$ .

После большого количества переворотов $h_{n+1}=h_n$ , отсюда получаем:

h=\frac{p_0+\Delta p}{2p_0+\Delta p}h_0.

Количество воздуха в цилиндре будет равно

\nu=\nu_0\frac{2(p_0S+mg)}{2p_0S+mg}.

Примечание. На рисунке 19 приведена качественная диаграмма, показывающая, как изменяется количество воздуха в цилиндре в зависимости от $n$ .

От участников олимпиады решение рекуррентного уравнения (3) или уравнения $\nu_{n+1}=f(\nu_n)$ не требуется.

Критерии оценивания

Критерий	Баллы
Указано, что после первого переворота в цилиндре будет максимальное количество воздуха	1
Приведена формула для максимального количества воздуха	1
Записано уравнение состояния для воздуха над поршнем после $n$ -го переворота	1
Записано уравнение состояния для воздуха под поршнем после $n+1$ -го переворота	1
Получено рекуррентное соотношение для $h_{n+1}$ и $h_n$	2
Сделан предельный переход для $n$ стремящегося к бесконечности	2
Дан ответ на второй вопрос	2

Оригинал в Архива: region13T.pdf