Съдържание

ВсОШ 2013, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 4 (11 кл.). 11 класс — Давление газировки

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2013

XLVII Всероссийская олимпиада школьников по физике — Заключительный этап. Теоретический тур

Издание и авторы

Методическая комиссия по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников.

XLVII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Методическое пособие. Владивосток, 2013 г.

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников. Телефоны: (495) 408-80-77, 408-86-95. E-mail: physolymp@gmail.com.

Авторы задач:

Класс	Задача 1	Задача 2	Задача 3	Задача 4	Задача 5
9	Замятнин М.	Иванов М.	Домарецкий Д.	Замятнин М.	Шведов О.
10	Савинов Е.	Щеронов А.	Бутиков Е.	Аполонский А.	Щеронов А., Александров Д.
11	Слободянин В.	Чивилёв В.	Аполонский А.	Бабинцев В.	Ерофеев И.

Общая редакция — Козел С., Слободянин В.

Оформление и вёрстка — Ерофеев И., Паринов Д., Цыбров Ф.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε. © Авторский коллектив. Подписано в печать 18 апреля 2013 г. в 10:47.

141700, Московская область, г. Долгопрудный. Московский физико-технический институт.

Условие

На заводе воду в бутылках (рис. 13) обезгаживают (извлекают растворённый воздух), газируют углекислым газом до насыщения при температуре $t_1=4\ {}^\circ\mathrm C$ и давлении $p_1=150\ \text{кПа}$ , а затем герметично закрывают и отправляют на склад, где температура воздуха согласно условиям хранения не превышает $t_2=35\ {}^\circ\mathrm C$ . Пренебрегая изменением объёма жидкости и бутылки, определите:

Масса воды в бутылке $m_\text{в}=2\ \text{кг}$ , молярная масса углекислого газа $\mu=44\ \text{г/моль}$ .

Геометрические размеры бутылки: $d=3\ \text{см}$ , $b=10\ \text{см}$ , $h=27\ \text{см}$ , $H=30\ \text{см}$ , $D=13\ \text{см}$ .

Примечание. Считайте, что растворимость газов $\sigma$ при постоянной температуре пропорциональна их парциальному давлению над жидкостью (закон Генри), а график зависимости растворимости углекислого газа в воде от температуры при его парциальном давлении $p_0=100\ \text{кПа}$ дан на рисунке 14. Парциальным давлением паров воды в данном диапазоне температур можно пренебречь. Растворимость $\sigma$ — масса газа (в граммах), растворённого в 1 кг жидкости.

1 минимальный объём надводной части $V_0$ , если максимальное давление в бутылке при хранении $p_2=370\ \text{кПа}$ ;

2 уровень $x$ , до которого на заводе наливают воду, соответствующий этому объёму.

Решение

При увеличении температуры в объёме $V$ между поверхностью воды и крышкой увеличивается давление газа. Это происходит из-за уменьшения растворимости углекислого газа и его выхода из жидкости. В предельном случае при максимальной температуре $t_2$ внутри бутылки должно оказаться максимально допустимое давление $p_2$ .

Найдём массу углекислого газа, которая дополнительно окажется в объёме $V$ при повышении температуры с $t_1$ до $t_2$ . Для этого определим растворимости углекислого газа при этих температурах, воспользовавшись графиком и законом Генри:

\sigma_1=\sigma_1^{\prime}\frac{p_1}{p_0}\approx4{,}50\ \text{г/кг},\quad\sigma_2=\sigma_2^{\prime}\frac{p_2}{p_0}\approx4{,}07\ \text{г/кг},

где $\sigma_1^{\prime}=3\ \text{г/кг}$ и $\sigma_2^{\prime}=1{,}1\ \text{г/кг}$ — растворимости при температурах $t_1$ и $t_2$ при атмосферном давлении, найденные из графика. Таким образом, из-за роста температуры в объёме $V$ масса углекислого газа увеличилась на $\Delta m=(\sigma_1-\sigma_2)m_\text{в}=0{,}86\ \text{г}$ .

Если учесть ещё массу $m_1$ углекислого газа, который находился над поверхностью вода при герметизации бутылки, то выражение для общей массы углекислого газа будет таким:

m_2=m_1+\Delta m=\frac{p_1V\mu}{RT_1}+\Delta m.

Давление этого газа в критическом случае равно $p_2$ :

p_2V=\frac{m_2}{\mu}RT_2=p_1V\frac{T_2}{T_1}+\frac{\Delta m}{\mu}RT_2.

Таким образом, минимальный надводный объём бутылки:

V=\frac{\Delta m}{\mu}\frac{RT_1T_2}{p_2T_1-p_1T_2}\approx250\ \text{см}^3.

Объём $V$ складывается из верхнего цилиндрического объёма $V_1=\pi d^2(H-h)/4\approx21{,}2\ \text{см}^3$ и нижнего конического (усечённый конус) $V_2$ (рис. 26). Для расчётов удобно разбить объём фигуры по-другому: объём $V_\text{к}$ конуса и объём $V_0$ , оставшийся от цилиндра после изъятия конуса (на рисунке заштрихован):

V_0=21{,}2\ \text{см}^3-\pi d^2(H-h)/12\approx14{,}1\ \text{см}^3.

Итак,

V=14{,}1\ \text{см}^3+\frac{\pi y^3}{12}\approx250\ \text{см}^3,\quad\text{откуда }y\approx10\ \text{см}.

Наконец, допустимый уровень жидкости:

x=H-y\approx20\ \text{см}.

Оригинал в Архива: finalT13.pdf