ВсОШ 2013, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 3 (9 кл.). 9 класс — Бусинка на кольце

В силу симметрии системы, при движении бусинок кольцо не будет смещаться по горизонтали. Для отрыва кольца от плоскости необходимо, чтобы $N_1=0$ (рис. 17). Это возможно, если силы реакции со стороны бусинок на кольцо $N$ направлены от центра. К этому моменту времени каждая из бусинок сместится от вертикали на угол $\alpha$ (рис. 18). Тогда по второму закону Ньютона для каждой из них будет справедливо соотношение:

где $N$ — сила, действующая на бусинку со стороны кольца.

Согласно закону сохранения энергии, верно равенство:

Решая совместно эти уравнения, получим:

Для момента отрыва кольца:

Из полученного выражения можно найти отношение $m/M$:

В знаменателе квадратичная зависимость с максимумом при $\cos\alpha=1/3$, при этом $m/M=3/2$. Следовательно, отрыв происходит при