ВсОШ 2014, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 5. Взвешивание без весов

• 2.15 г/см³

  Пример измерений из официального решения: d/D = 0,85 ± 0,03, D = 15,9 ± 0,3 мм, d = 14,0 ± 0,7 мм, m = 16,1 ± 0,3 г, V = 7,5 ± 0,3 мл. В решении плотность напечатана без единицы («ρ = 2,15 ± 0,12»); по m и V это г/см³.

Для того, чтобы пробирка плавала вертикально, нужно налить в нее некоторое количество воды. Та часть пробирки, для которой мы проводим измерения глубины погружения, должна быть цилиндрической. Для измерения требуемых уровней воды наклеим на пробирку с помощью скотча полоску миллиметровой бумаги, которая будет служить нам шкалой. Параметры $x$ и $y$ можно измерять относительно произвольного фиксированного уровня.

Таблица 1: результаты измерений.

Пусть начальный объём воды в пробирке равен $V_{1,\,0}$, а начальный объём вытесненной пробиркой воды равен $V_{2,\,0}$, Тогда текущий объем воды в пробирке $V_1$ равен

а текущий объем вытесненной пробиркой воды $V_2$ равен

По закону Архимеда:

Подставив выражения для $V_1$ и $V_2$ в закон Архимеда, получим:

Из этой формулы видно, что $y$ линейно зависит от $x$, то есть угловой коэффициент на графике (рис. 5) равен $k = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{d^2}{D^2}$. В нашем случае $k = 0{,}73 \pm 0{,}05$, откуда $\dfrac{d}{D} = \sqrt{k} = 0{,}85 \pm 0{,}03$.

Обмотав пробирку кусочком миллиметровой бумаги, определим периметр $P = \pi D = 50{,}0 \pm 1{,}0$ мм. Тогда внешний диаметр $D = 15{,}9 \pm 0{,}3$ мм.

Внутренний диаметр пробирки можно измерить, долив в неё шприцем воду и измерив изменение уровня $\Delta x$. Объём налитой воды $\Delta V_1 = \frac{1}{4}\pi d^2\Delta x$ нам известен, поскольку мы наливаем её шприцем. У нас получилось $d = 14{,}0 \pm 0{,}7$ мм.

Объёмы $V_1$ и $V_2$ можно измерить непосредственно: воду в пробирку мы заливаем шприцем, а объём вытесненной воды найдём погружая малую пробирку в большую на ту же глубину. Тогда масса пробирки

Делаем это для 4–5 значений $y$ и проводим усреднение.

С помощью большой пробирки и шприцев, найдем внутренний $V_{1,\,\max}$ и внешний объём $V_{2,\,\max}$ исследуемой пробирки. Тогда объём стекла пробирки $V = V_{2,\,\max} - V_{1,\,\max}$. Полученное нами значение: $V = 7{,}5 \pm 0{,}3$ мл.

Находим плотность стекла:

Примерные критерии оценивания

• Указано, как добиться вертикального плавания пробирки — 1
• Таблица измерений $y(x)$, не менее 7 точек — 2
• Построен график $y(x)$, на котором не менее 7 точек — 2
• По графику найдено отношение $d/D$ — 1
• Определён внешний диаметр $D$ — 1
• Определён внутренний диаметр $d$ — 1
• Выведена формула (2) для массы пробирки — 1
• Измерены объёмы $V_1$ и $V_2$:

  • хотя бы при трёх различных глубинах погружения — 2
  • менее, чем при трёх различных глубинах погружения — 1
• Полученное значение $m$ — 1
• Измерение объёма пробирки $V$ — 2
• Полученное значение $\rho$ — 1