ВсОШ 2014, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 7. И звезда с звездою. . .

• К выводу C подключён луч с одной батарейкой, к выводам A и B — две батарейки (верная схема — рис. 7). С тремя лампами $I_C \ll I_A < I_B$: лампа C не горит, A и B горят ярко (при идеальных батареях $I_A = I_B$, и выводы A и B не различить).

1. Найдём такие выводы «серого» ящика, что при подключении двух ламп обе лампы светятся. Поскольку лампы соединены последовательно, то через них протекает ток одинаковой силы. Тогда одинаковая яркость свечения свидетельствует об одинаковой мощности и, следовательно, об одинаковом сопротивлении ламп. Достаточно проверки для двух разных пар ламп.

2. Для определения схемы в «сером» ящике наблюдаем за яркостью свечения ламп при их различном подсоединении к выводам серого ящика. Существует три способа подсоединения двух ламп (к выводам А и В, А и С, В и С) и один — трёх ламп (к А, В и С одновременно).

При подсоединении двух ламп получаем следующие результаты:

выводы A и B: две лампы горят ярко;

выводы A и С: две лампы горят тускло;

выводы B и C: две лампы горят тускло;

При подсоединении трёх ламп к «серому» ящику: лампа A светится ярко, B — ярко, C — не светится.

3. Определим схему, перебрав все варианты, и исключив те, которые не подходят под проведённые измерения. Все остальные возможные варианты (полученные заменой полярности батареек) будут давать тот же результат при присоединении ламп, что и 6 вариантов, приведённых ниже:

При подключении пар выводов, один из которых C, лампы горят тускло, поэтому выводу C соответствует луч с одной батарейкой. При подключении выводов A и B, работают две батарейки, лампы горят ярко.

Это подтверждается измерением с тремя лампами (рис. 7). В этом случае, считая, что внутреннее сопротивление батарей $r$, а сопротивления ламп $R$, можно рассчитать схему и получить, что силы токов, текущих через выводы B, C выражаются через $I_A$:

При соотношении $r \ll R$ верны неравенства:

Таким образом, выводы однозначно определяются, так как лампа C не горит, а B должна светить ярче, чем A. Заметить эту разницу не всегда возможно; это зависит от того, чему равно отношение $r/R$.

Если считать батареи идеальными ($r = 0$), то ток через вывод C не течёт, а для выводов A и B верно соотношение: $I_A = I_B$. Этот результат можно получить качественными рассуждениями. Если мысленно отключить лампу C, то напряжения на одинаковых лампах (подключенных к A и B) равны, и равны Э.Д.С. одной батареи. Тогда, учитывая полярность третьей батареи, лампа C подсоединяется к контактам, исходное напряжение на которых нулевое. Поэтому, она гореть не будет (даже независимо от её сопротивления), а лампы B и A будут гореть одинаково ярко, поэтому отличить выводы A и B нельзя.

Верная схема приведена на рис. 7.

Примерные критерии оценивания

• Проверено, что лампы одинаковые — 2
• Указаны возможные способы подключения ламп к «серому» ящику — 1
• Указаны результаты измерений (1 балл за каждый способ подключения) — 4
• Используется факт, что необходимо не только подобрать правильный вариант, но и исключить остальные — 0,5
• Используется факт, что смена полярности батарей не приводит к изменению результатов измерений — 0,5
• Проведена проверка применимости 6 вариантов схем по измерениям с двумя лампами (по 0,5 балла за каждый) — 3
• Показано, что в верной схеме к выводу C подключена одна батарея — 1

В случае если батарейки считаются не идеальными:

• Получено соотношение (3) — 3

В случае если батарейки считаются идеальными:

• Теоретически получен результат, подтверждающий измерения с тремя лампами — 2
• Сделан вывод, что контакты A и B не отличаются — 1