Съдържание

ВсОШ 2014, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 12. Эквивалентная схема

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2014

Олимпиада Максвелла. Региональный этап. Теоретический тур (7–8 класс); XLVIII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Теоретический тур (9–11 класс). МФТИ, 2013/2014 уч.г.

9 класс

XLVIII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Теоретический тур

9 класс

Условие

На рис. 5 приведена блок-схема регулируемого источника постоянного тока. Идеальная батарея, обеспечивающая постоянное напряжение $U_0$ , защищена от короткого замыкания резистором, сопротивление которого $r$ . Выходное напряжение задается резистором сопротивлением $R$ . К выходным разъемам А и В подключают нагрузку, сопротивление которой $R_{\text{н}}$ .

Для упрощения расчета силы тока, текущего через нагрузку $R_{\text{н}}$ , схему регулируемого источника принято представлять в виде эквивалентной схемы (рис. 6), обеспечивающей такую же силу тока, текущего через нагрузку, как и реальный источник (рис. 5) . Выразите напряжение $U_1$ и сопротивление $r_1$ эквивалентной схемы через параметры ( $U_0$ , $R$ , и $r$ ) источника.

Схема источника: батарея U0 последовательно с резистором r, параллельно им резистор R; выводы A и B, к которым подключена нагрузка Rн. — Рис. 5

Эквивалентная схема: батарея U1 последовательно с резистором r1 между выводами A и B, к которым подключена нагрузка Rн. — Рис. 6

Отговори

Решение

Первое решение. Найдём напряжение $U_{AB}$ на разъёмах регулируемого источника в зависимости от силы тока $I$ , текущего через нагрузку (рис. 23):

U_{AB} = U_0 - I_0r = I'R.

Учитывая, что $I_0 = I + I'$ , можно выразить $I'$ :

U_0 - (I + I')r = I'R, \quad \text{откуда} \quad I' = \frac{U_0 - Ir}{R + r}.

Значит,

U_{AB} = I'R = U_0\frac{R}{R+r} - I\frac{Rr}{R+r}. \qquad (4)

Исходная схема с токами: батарея U0 и резистор r с током I0 (стрелка вверх), параллельно резистор R с током I' (стрелка вниз); ток I течёт к выводу A; внизу вывод B. — Рис. 23

Эквивалентная схема: батарея U1 и резистор r1, ток I течёт к выводу A; внизу вывод B. — Рис. 24

Для эквивалентной схемы (рис. 24):

U_{AB} = U_1 - Ir_1. \qquad (5)

Чтобы при любом значении $I$ формулы (4) и (5) давали одинаковый результат, необходимо

U_1 = U_0\frac{R}{R+r}, \qquad r_1 = \frac{Rr}{R+r}. \qquad (6)

Примечание. При решении этой задачи можно сравнивать не только напряжение на разъёмах источника, но и силу тока через нагрузку, взяв в качестве параметра, например, сопротивление нагрузки.

Второе решение. Напряжение $U_1$ эквивалентной схемы есть показания вольтметра, подключенного к выводам $A$ и $B$ . Так как по условию схемы эквивалентны, при подключении к исходной схеме вольтметр показывает то же самое:

U_1 = U_0\frac{R}{R+r}.

При коротком замыкании между выводами $A$ и $B$ исходной схемы течёт ток силой $I_{\text{к.з.}} = U_0/r$ . При коротком замыкании выводов эквивалентной схемы сила тока должна быть такой же, причём ток течёт только через резистор $r_1$ , поэтому:

r_1 = \frac{U_1}{I_{\text{к.з.}}} = r\cdot\frac{U_1}{U_0} = \frac{Rr}{R+r}.

Примерные критерии оценивания

Первое решение

Получено выражение (4), или любое другое выражение, связывающее напряжение или ток нагрузки с величиной, взятой в качестве параметра для исходной схемы — 3
Получено выражение (5), или любое другое выражение, связывающее напряжение или ток нагрузки с величиной, взятой в качестве параметра для эквивалентной схемы — 1
В работе присутствует идея, что при любых значениях параметра выражения (4) и (5) должны давать одинаковый результат — 2
Указано, какие именно величины должны быть равны, чтобы при любых значениях параметра выражения (4) и (5) давали одинаковый результат — 2
Найдено $U_1$ — 1
Найдено $r_1$ — 1

Второе решение

Указано, что при подключении вольтметра к разным схемам должно быть одинаковое значение напряжения — 2
Найдено напряжение на $U_1$ — 2
Указано, что сила тока короткого замыкания одинакова — 2
Найдена сила тока короткого замыкания для исходной схемы — 1
Найдена сила тока короткого замыкания для эквивалентной схемы — 1
Найдено сопротивление $r_1$ — 2

Оригинал в Архива: region14T.pdf