Съдържание

ВсОШ 2014, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 13. Вода и ртуть

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2014

Олимпиада Максвелла. Региональный этап. Теоретический тур (7–8 класс); XLVIII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Теоретический тур (9–11 класс). МФТИ, 2013/2014 уч.г.

9 класс

XLVIII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Теоретический тур

9 класс

Условие

U-образная трубка: левое колено — ось вращения (штрихпунктир со стрелкой вращения), в нём вода; горизонтальная часть длиной l заполнена наполовину водой, наполовину ртутью (тёмная); в правом колене ртуть поднимается на высоту h; тонкая горизонтальная линия показывает одинаковый уровень в обоих коленах. — Рис. 7

В тонкой U-образной трубке постоянного сечения находится вода и ртуть одинаковых объемов. Длина горизонтальной части трубки $l = 40$ см. Трубку раскрутили вокруг колена с водой (рис. 7), и оказалось, что уровни жидкостей в трубке одинаковы и равны $h = 25$ см. Пренебрегая эффектом смачивания, определите период $T$ вращения трубки.

Справочные данные: ускорение свободного падения $g = 9{,}8$ м/с $^2$ ; плотности воды и ртути равны $\rho_{\text{в}} = 1{,}0$ г/см $^3$ и $\rho_{\text{р}} = 13{,}5$ г/см $^3$ соответственно.

Отговори

Решение

Найдем изменение давления в горизонтальной части трубки. Для этого запишем уравнение движения малого элемента жидкости длиной $\Delta r$ , находящегося на расстоянии $r$ от оси вращения:

a_{\text{цс}}\rho S\Delta r = \omega^2 r\rho S\Delta r = S\Delta p,

График ω²ρr от r: прямая из начала координат; отмечены значения ω²ρr1 и ω²ρr2 при r1 и r2; площадь трапеции под прямой между r1 и r2 закрашена и подписана p2 − p1. — Рис. 25

где $\omega$ — угловая скорость вращения трубки, $\Delta p$ — перепад давлений на концах малого элемента жидкости длиной $\Delta r$ . При вычислении разности давлений на концах горизонтального участка трубки (заштрихованная площадь под графиком (рис. 25)) получим:

p_2 - p_1 = \omega^2\rho(r_2 - r_1)\cdot\frac{r_1 + r_2}{2} = \omega^2\rho\frac{r_2^2 - r_1^2}{2}. \qquad (7)

Перепад давлений между правым и левым коленом равен сумме перепадов давлений в горизонтальной части трубки, заполненной водой и ртутью:

p_2 - p_1 = \omega^2\rho_{\text{в}}\frac{(l/2)^2 - 0}{2} + \omega^2\rho_{\text{р}}\frac{l^2 - (l/2)^2}{2} = (3\rho_{\text{р}} + \rho_{\text{в}})\frac{\omega^2l^2}{8}. \qquad (8)

Этот перепад давлений и поддерживает разность давлений вертикальных столбов воды и ртути:

(3\rho_{\text{р}} + \rho_{\text{в}})\frac{\omega^2l^2}{8} = \rho_{\text{р}}gh - \rho_{\text{в}}gh, \qquad (9)

откуда $\omega = \sqrt{\dfrac{8gh}{l^2}\cdot\dfrac{\rho_{\text{р}} - \rho_{\text{в}}}{3\rho_{\text{р}} + \rho_{\text{в}}}}$ . Период вращения

T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{\pi l}{\sqrt{2gh}}\cdot\sqrt{\frac{3\rho_{\text{р}} + \rho_{\text{в}}}{\rho_{\text{р}} - \rho_{\text{в}}}} \approx 1{,}0\ \text{с}.

Примерные критерии оценивания

Найден перепад давлений на концах малого элемента жидкости $\Delta r$ — 2
Указано, как найти разность давлений на горизонтальном участке (график или интегрирование) — 1
Найдена разность давлений на горизонтальном участке (7) — 1
Посчитан перепад давлений для ртути в горизонтальном участке (8) — 1
Посчитан перепад давлений для воды в горизонтальном участке (8) — 1
Записано выражение (9) — 2
Получен ответ для периода в общем виде — 1
Получен численный ответ для периода — 1

Оригинал в Архива: region14T.pdf