Съдържание

ВсОШ 2014, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 14. Три блока

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2014

Олимпиада Максвелла. Региональный этап. Теоретический тур (7–8 класс); XLVIII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Теоретический тур (9–11 класс). МФТИ, 2013/2014 уч.г.

9 класс

XLVIII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Теоретический тур

9 класс

Условие

К двум лёгким подвижным блокам подвешены грузы, массы которых $m_1$ и $m_2$ . Лёгкая нерастяжимая нить, на которой висит блок с грузом $m_1$ , образует с горизонтом угол $\alpha$ . Грузы удерживают в равновесии (рис. 8). Найдите ускорение грузов сразу после того, как их освободят. Считайте, что радиусы блоков $r \ll L$ .

Потолок со штриховкой и вертикальная стена справа; нить от стены идёт под углом α вниз к подвижному блоку с грузом m1, затем вверх к неподвижному блоку у левого края потолка (расстояние между точками крепления L), далее вниз к подвижному блоку с грузом m2 и вверх к потолку. — Рис. 8

Отговори

Решение

Так как нить и блоки лёгкие, натяжение верёвки $T$ всюду одинаково. Для груза №1 запишем в проекции на вертикальную ось, направленную вниз, второй закон Ньютона:

m_1a_1 = m_1g - 2T\sin\alpha.

Уменьшенная схема системы из трёх блоков с обозначенными вертикальными координатами грузов: y1 — для груза на подвижном блоке под наклонными нитями, y2 — для груза на левом подвижном блоке. — Рис. 26

Для груза № 2 второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось даст:

m_2a_2 = m_2g - 2T.

Поскольку нить нерастяжимая, малое смещение по вертикали $\Delta y_1$ груза № 1 (рис. 26) и малое смещение по вертикали $\Delta y_2$ груза № 2 (рис. 27) связаны соотношением:

2\Delta y_1\sin\alpha + 2\Delta y_2 = 0. \qquad (10)

Геометрия малого смещения блока на наклонных нитях: угол α, вертикальное смещение Δy1 и удлинение каждой ветви нити Δy1 sin α. — Рис. 27

Рассматривая эти смещения за малый промежуток времени $\Delta t$ , получаем выражение, связывающее скорости грузов:

v_1\sin\alpha + v_2 = 0.

Найдём связь между малыми изменениями скоростей:

\Delta(v_1\sin\alpha) + \Delta v_2 = \Delta v_1\sin\alpha + v_1\Delta(\sin\alpha) + \Delta v_2 = 0.

Так как в начальный момент времени скорости грузов равны нулю, то эти изменения скоростей связаны соотношением:

\Delta v_1\sin\alpha + \Delta v_2 = 0.

Отсюда следует такая же связь между ускорениями грузов:

a_1\sin\alpha + a_2 = 0. \qquad (11)

Решая полученную систему уравнений, находим:

a_1 = g\frac{m_1 - m_2\sin\alpha}{m_1 + m_2\sin^2\alpha}, \quad a_2 = -g\sin\alpha\frac{m_1 - m_2\sin\alpha}{m_1 + m_2\sin^2\alpha}.

Примерные критерии оценивания

Записан второй закон Ньютона для груза №1 — 2
Записан второй закон Ньютона для груза №2 — 2
Указана связь между малыми смещениями грузов — 2
Обоснован переход от выражения (10) к выражению (11) — 1
Записано выражение для связи ускорений (11) — 1
Правильный ответ для $a_1$ — 1
Правильный ответ для $a_2$ — 1

Оригинал в Архива: region14T.pdf