ВсОШ 2014, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 15. Переменное трение

• $v = \sqrt{\frac{gH}{2}}$

Если груз находится в точке $x$, то проекция равнодействующей силы на ось $x$ равна:

где $\varphi$ — угол наклона плоскости. Скорость будет максимальной когда $F_x = 0$, в этот момент координата груза равна $x_0 = (\operatorname{tg}\varphi)/\alpha$.

При перемещении груза на расстояние $L$ сила трения линейно возрастает от нуля до некоторого максимального значения $\alpha L\cdot mg\cos\varphi$. Тогда модуль работы силы трения можно найти как произведение силы $(\alpha Lmg\cos\varphi)/2$ на пройденный путь $L$.

Потенциальная энергия груза идёт на работу силы трения:

Откуда получаем, что $x_0 = H/(2\sin\varphi)$.

Запишем закон сохранения энергии при перемещении из точки $x = 0$ в точку $x = x_0$:

Откуда

Альтернативное решение

Построим график (рис. 28) проекции равнодействующей силы на ось $X$ от перемещения $x$. Работа равнодействующей силы равна нулю, так как кинетическая энергия в конце и в начале одинакова и равна нулю. Из этого следует, что работа по разгону тела (соответствует площади треугольника над осью $x$) равна по модулю работе по торможению тела (площадь треугольника под осью $x$). Эти треугольники равны, поэтому график пересекает ось $x$ в точке $L/2$. Работа равнодействующей силы по разгону тела (верхний треугольник) равна изменению кинетической энергии $mv^2/2$. Площадь верхнего треугольника есть половина площади прямоугольника. Площадь прямоугольника численно равна работе силы тяжести при опускании груза на $H/2$. Отсюда получаем равенство $mv^2/2 = mgH/4$, из которого получается ответ.

Примерные критерии оценивания

• Указано, что скорость максимальна, когда равнодействующая сила равна нулю — 2
• Указано как найти работу силы при её линейном изменении — 2
• Получено, что скорость максимальна, когда тело прошло половину пути — 2
• Записан закон сохранения энергии при перемещении тела из точки $x = 0$ в точку $x = x_0$ — 2
• Получен ответ — 2