Съдържание

ВсОШ 2014, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 19. Колонна из песка

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2014

Олимпиада Максвелла. Региональный этап. Теоретический тур (7–8 класс); XLVIII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Теоретический тур (9–11 класс). МФТИ, 2013/2014 уч.г.

9 класс

XLVIII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Теоретический тур

9 класс

Условие

Как-то теоретик Баг, гуляя по берегу моря, увидел как отдыхающий строит замок из песка (рис. 13). Он решил узнать, какой максимальной высоты колонну можно построить из влажного песка. В одной из работ Леонарда Эйлера он обнаружил, что максимальная высота цилиндрической колонны изготовленной из однородного и изотропного материала, может быть рассчитана по формуле

Фотография: человек в оранжевой куртке строит на пляже песчаный замок с башнями и куполами. — Рис. 13

H = 1{,}25\cdot E^{\alpha}R^{\beta}\rho^{\gamma}g^{\lambda}, \qquad (1)

где $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ и $\lambda$ — некоторые числовые коэффициенты, $R$ — радиус колонны, $\rho$ — плотность материала, из которого она изготовлена, $g$ — ускорение свободного падения, $E$ — модуль Юнга. Баг рассчитал, что если колонну сделать из влажного песка, то при её радиусе $R_1 = 5$ см, высота колонны окажется 1,0 м. Друг Бага, экспериментатор Глюк, решил собрать более «солидную» колонну. Он сделал радиус её основания $R_2 = 15$ см. Колонна какой высоты получилась у Глюка?

Справочные данные: плотность влажного песка $\rho = 1{,}5\times 10^3$ кг/м $^3$ , его модуль Юнга $E = 3{,}0\times 10^6$ Па, ускорение свободного падения $g = 9{,}8$ м/с $^2$ .

Примечание. Модуль Юнга — это коэффициент пропорциональности между давлением (или растяжением), действующим на плоскую поверхность исследуемого образца и его относительным сжатием (удлинением).

Отговори

Решение

Поскольку высота имеет размерность длины, то все прочие размерности в выражении (1) должны в итоге дать ноль:

\dim\left(E^{\alpha}R^{\beta}\rho^{\gamma}g^{\lambda}\right) = M^{\alpha}L^{-\alpha}T^{-2\alpha}L^{\beta}M^{\gamma}L^{-3\gamma}L^{\lambda}T^{-2\lambda} = M^{\alpha+\gamma}T^{-2(\alpha+\lambda)}L^{\lambda-\alpha-3\gamma+\beta} = L,

а это значит, что

\begin{cases} \alpha + \gamma = 0, & M \\ \alpha + \lambda = 0, & T \\ \lambda - \alpha - 3\gamma + \beta = 1. & L \end{cases} \qquad (13)

Решая эту систему уравнений получим: $\alpha = -\gamma = -\lambda$ и $\alpha + \beta = 1$ . С учётом этих соотношений уравнение (1) перепишем в виде:

H = 1{,}25\cdot\left(\frac{E}{\rho g}\right)^{\alpha}R^{1-\alpha}. \qquad (14)

Введём параметр

r = \frac{E}{\rho g} = \left(\frac{3{,}0\times 10^6}{1{,}5\times 10^3\cdot 9{,}8}\right)\text{м} \approx 204\,\text{м}.

Теперь уравнение (1) примет вид: $H = 1{,}25\,r^{\alpha}\,R^{1-\alpha}$ . По расчетам Бага

1\,\text{м} = 1{,}25\,(204\,\text{м})^{\alpha}\,(0{,}05\,\text{м})^{1-\alpha} = 1{,}25\left(\frac{204\,\text{м}}{0{,}05\,\text{м}}\right)^{\alpha}(0{,}05\,\text{м}).

Это выражение преобразуем к виду: $16 = (4080)^{\alpha}$ . Откуда находим

\alpha = \frac{\ln 16}{\ln(4080)} = \frac{2{,}773}{8{,}314} = \frac{1}{3}.

Применим уравнение (14) для случая расчета Бага и эксперимента Глюка, а затем поделим одно на другое:

\frac{H_2}{H_1} = \left(\frac{R_2}{R_1}\right)^{\frac{2}{3}}.

Отсюда следует, что $H_2 = \left(\dfrac{0{,}15}{0{,}05}\right)^{\frac{2}{3}}\cdot 1\,\text{м} = 2{,}08\,\text{м} \approx 2\,\text{м}$ .

Примерные критерии оценивания

Записана система (13) — 2
Решена система (13) — 1
Записано уравнение (14) или эквивалентное ему — 2
Найдено значение коэффициента $\alpha$ — 3
Отношение высот выражено через отношение радиусов — 1
Найдена высота $H_2$ — 1

Оригинал в Архива: region14T.pdf